Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Pada postingan sebelumnya penulis telah memaparkan sedikit mengenai persamaan bundar yang ditinjau secara  analitik. Nahhh...pada kesempatan kali ini kembali penulis memaparkan mengenai Bentuk Umum Persamaan Lingkaran yang merupakan kelanjutan dari bahan sebelumnya yang sanggup kalian baca disini.

Dari bahan sebelumnya kita tahu bahwa persamaan bundar dengan sentra $A(a,b)$ dan berjari-jari $r$ adalah:

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r$

  

Bentuk ini dinamakan dengan Bentuk Baku Persamaan Lingkaran. Lalu, bagaimana kalau persamaan ini kita jabarkan lebih lanjut. Perhatikan uraian berikut:

$\begin{align*}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}-2by+b^{2}&=r^{2}\\x^{2}+y^{2}-2ax-2by+a^{2}+b^{2}-r^{2}&=0\end{align*}$

Misalkan: $-2a=A$, $-2b=B$, dan $a^{2}+b^{2}-r^{2}=C$, maka bentuk terakhir dari pembagian terstruktur mengenai di atas menjadi:

$\begin{align*}x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\end{align*}$

Bentuk $\begin{align*}x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\end{align*}$ inilah yang dinamakan dengan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran.

Pada kebanyakan soal,seringkali persamaan bundar dinyatakan dalam bentuk umum,misalnya $x^{2}+y^{2}-10x+24y-11=0$. Ketika berhadapan dengan soal ibarat ini seringkali adik-adik yang masih Sekolah Menengan Atas kebingungan dalam memilih titik sentra dan jari-jari lingkarannya. Namun,ada juga yang sudah tahu rumusnya. Nahh...bagi adik-adik yang duduk di kursi Sekolah Menengan Atas dan belum tahu rumus mencari titik sentra dan jari-jari bundar berbentuk $\begin{align*}x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\end{align*}$, dan bagi yang sudah tahu namun belum tahu asal usulnya berikut dijelaskan.

Perhatikan kembali bentuk umum persamaan bundar di atas. Jika bentuk umum persamaan bundar tersebut dinyatakan dalam bentuk kuadrat tepat maka akan diperoleh bentuk berikut.

$\small \begin{align*} x^{2}+y^{2}+Ax+By+C&=0\\ (x^{2}+Ax)+(y^{2}+Bx)&=-C\\ \left ( x^{2}+Ax+\left(\frac{1}{2}A\right)^{2} \right )+ \left ( y^{2}+Bx+\left(\frac{1}{2}B\right)^{2} \right )&=\left ( \frac{1}{2}A \right )^{2}+\left ( \frac{1}{2}B \right )^{2}-C\\ \left ( x+\frac{1}{2}A \right )^{2}+\left (y+ \frac{1}{2}B \right )^{2}&=\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C \end{align*}$  

Dari bentuk persamaan terakhir diperoleh:

$\begin{align*} \textrm{Pusat}\;\textrm{lingkaran}&=\left ( -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )\\ \textrm{Jari}-\textrm{Jari}\;r&=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \end{align*}$

Dari beberapa uraian di atas,dapat dibentuk kesimpulan singkat sebagai berikut.

Bentuk umum persamaan bundar adalah:

$\begin{align*} x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0 \end{align*}$

dengan titik sentra $\begin{align*}\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right)\end{align*}$ dan berjari-jari $\begin{align*}r=\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\end{align*}$

Jika suatu bundar dengan sentra $(x_{1},y_{1})$ meyinggung garis lurus $ax+by+c=0$ di sembarang titik

gambar.lingkaran bersinggungan dengan garis lurus $ax+by+c=0$

maka jari-jari $r$ bundar sanggup ditentukan oleh rumus:

$\begin{align*} r=\left | \frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right | \end{align*}$

Berikut ini diberikan beberapa referensi soal.

Contoh Soal 1

Tentukan persamaan bundar yang berpusat di titik $(4,-6)$ dan berjari-jari $5$ satuan.

Jawab

Misalkan titik sentra $A(4,-6)$ dan $r=5$, maka:

$\begin{align*} (x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\ (x-4)^{2}+(y-(-6))^{2}&=5^{2}\\ (x-4)^{2}+(y+6))^{2}&=5^{2}\\ x^{2}-8x+16+y^{2}+12y+36&=25\\ x^{2}+y^{2}-8x+12y+52&=25\\ x^{2}+y^{2}-8x+12y+27&=0\\ \end{align*}$ 

Jadi, persaamaan bundar dengan berpusat di $(4,-6)$ dan berjari-jari $5$ satuan yaitu $\begin{align*} x^{2}+y^{2}-8x+12y+27&=0\\ \end{align*}$

Contoh Soal 2

Tentukan titik sentra dan jari-jari bundar yang mempunyai persamaan $x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0$, lalu gambarkanlah bundar tersebut dalam bidang kartesius.
Jawab
Dari persamaan bundar $x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0$, diperoleh $A=4,\; B=-6$ dan $C=-12$. Misalkan titik sentra bundar tersebut yaitu $P$, maka:
$\begin{align*} P&=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right)\\P&=\left(-\frac{1}{2}(4),-\frac{1}{2}(-6) \right)\\P&=(-2,3)\\ \end{align*}$
Misalkan jari-jari bundar tersebut yaitu $r$,maka:
$\begin{align*} r&=\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\\ r&=\sqrt{\frac{4^{2}}{4}+\frac{(-6)^{2}}{4}-(-12)}\\ r&=\sqrt{4+9+12}\\ r&=\sqrt{25}\\ r&=5 \end{align*}$
Jadi, titik sentra dan jari-jari bundar $x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0$ berturut-turut yaitu $(-2,3)$ dan $5$ satuan.
Jika digambar dalam bidang kartesius, tampak ibarat berikut.

gambar bundar $\small \begin{align*} L\equiv x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0 \end{align*}$ 

Contoh Soal 3

Diketahui garis $5x-12y+10=0$ menyinggung sebuah bundar yang berpusat di $(1,-2)$. Tentukkan persamaan bundar tersbeut.
Jawab
Dari isu yang terdapat pada soal tersebut diperoleh sentra $(x_{1},y_{1}=(1,-2)$, dan $a=5,\;b=-12$, dan $c=10$.
Jari-Jari Lingkaran
$\begin{align*} r&=\left | \frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |\\ r&=\left | \frac{(5).(1)+(-12)(-2)+10}{\sqrt{(5)^{2}+(-12)^{2}}} \right |\\ r&=\left | \frac{39}{13} \right |\\ r&=3 \end{align*}$
Persamaan Lingkaran
$\begin{align*} (x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\ (x-1)^{2}+(y+2)^{2}&=3^{2}\\ x^{2}-2x+1+y^{2}+4y+4&=9\\ x^{2}+y^{2}-2x+4y-5&=0 \end{align*}$
Jadi, persamaan bundar tersebut yaitu $x^{2}+y^{2}-2x+4y-5=0$.
Agar lebih paham perhatikan gambar berikut.

gb. garis $5x-12y+10=0$ bersinggungan dengan bundar di titik $P$.

Demikianlah pembahasan bahan mengenai Bentuk Umum Persamaan Lingkaran. Jika ditemukan kesalahan baik itu pembahasan maupun kesalahan dalam penulisan segera komentari di kolom komentar. Semoga bermanfaat.

Salam Matematika...
Sumber http://yan-fardian.blogspot.com

Share this post

Berlangganan update artikel terbaru via email: