Contoh Soal Integral Parsial Beserta Pembahasan Nya

Dalam pengintegralan, selain operasi biasa atau dengan teknik substitusi, ada teknik lain yaitu integral parsial. Teknik ini dipakai jikalau pada teknik sebelumnya tidak sanggup digunakan. Teknik ini merupakan integral dari turunan hasil kali dua fungsi. Berikut ini yaitu konsep integral parsial: 

Jika y = U(x) . V(x), maka:

Jika y diganti UV maka:

Karena diketahui bahwa    dan  ,  maka persamaan menjadi:

d(UV) = V . dU + U . dV

U . dV = d(UV) – V . dU

Dengan mengintegralkan kedua ruas dalam persamaan diatas, diperoleh:

Rumus integral parsial:

Perlu diperhatikan untuk menentukan U dan dV yang sempurna supaya pengintegralan memperlihatkan hasil. (dV) harus dipilih yang sanggup diintegralkan dengan rumus, sedangkan yang lain menjadi U.

Dalam integral parsial, terkadang sanggup menurunkan U dan mengintegralkan dV secara berulang. Jika terjadi proses yang berulang, maka proses sanggup diringkas.

Contoh Soal Integral Parsial Beserta Pembahasan nya I

1. Hasil dari ∫x sin x dx dengan memakai rumus integral parsial adalah… 

A. – x cos x + sin x + c

B. x cos x + sin x + c

C. x cos x – sin x + c

D. – x sin x + cos x + c

E. x sin x + cos x + c

Pembahasan

Misal:

u = x maka du = dx

dv = sin x dx maka v = ∫sin x dx = – cos x

Jadi,

∫u dv = uv – ∫v du

∫x sin x dx = x . – cos x – ∫(-cosx) dx

∫x sin x dx = – x cos x + sin x + c

Jawaban : A

2.Hasil dari ∫(x + 1) cos 3x dx = …

A. 1/3 (x + 1) sin 3x + 1/9 sin 3x + c

B. 1/3 (x + 1) sin 3x + 1/9 cos 3x + c

C. 1/3 (x + 1) sin 3x – 1/9 cos 3x + c

D. 1/9 (x + 1) sin 3x + 1/3 cos 3x + c

E. 1/9 (x + 1) sin 3x + 1/9 cos 3x + c

Pembahasan

Misal:

u = x + 1 maka du = dx

dv = cos 3x maka v = ∫ cos 3x dx = 1/3 sin 3x

∫u dv = u . v – ∫ v du

∫(x + 1) cos 3x dx = (x + 1) . 1/3 sin 3x – ∫1/3 sin 3x dx

∫(x + 1) cos 3x dx = 1/3 (x + 1) sin 3x – (- 1/9 cos 3x) + c

∫(x + 1) cos 3x dx = 1/3 (x + 1) sin 3x + 1/9 cos 3x + c

Jawaban: B

3.Hasil dari ∫x (x + 4)5 dx = …

A. 1/21 (3x – 2) (x + 4)6 + C

B. 1/21 (3x + 2) (x + 4)6 + C

C. 1/21 (3x – 2) (x – 4)6 + C

D. 1/42 (3x – 2) (x + 4)6 + C

E. 1/42 (3x + 2) (x + 4)6 + C

Pembahasan

Misal:

u = x maka du = dx

dv = (x + 4)5 dx maka v = ∫ (x + 4)5 dx = 1/6 (x + 4)6

Jadi,

∫ x (x + 4)5 = x . 1/6 (x + 4)6 – ∫1/6 (x + 4)6 dx

∫ x (x + 4)5 = 1/6 x (x + 4)6 – 1/6 . 1/7 (x + 4)7 + c

= 1/6x (x + 4)6 – 1/42 (x + 4) (x + 4)6 + c

= (1/6x – 1/42x – 4/42) (x + 4)6 + c

= (6/42 x – 2/21) (x + 4)6 + c

= (3/21 x – 2/21) (x + 4)6 + c

= 1/21 (3x – 2) (x + 4)6 + C

Jawaban: A

4.Hasil dari ∫ (x2 – 1) cos x dx = …

A. (x2 – 1) sin x + 2x cos x + C

B. (x2 + 1) sin x + 2x cos x + C

C. (x2 – 3) sin x + 2x cos x + C

D. (x2 + 3) sin x + 2x cos x + C

E. (x2 + 3) sin x – 2x cos x + C

Pembahasan

u = x2 – 1 maka du = 2x dx

dv = cos x dx maka v = ∫cos x dx = sin x

Jadi,

∫(x2 – 1) cos x dx = (x2 – 1) sin x – ∫sin x . 2x dx …..pers (1)

Disini ∫sin x . 2x dx mesti di integral parsialkan lagi)

y = 2x maka dy = 2 dx

dz = sin x dx maka z = ∫sin x dx = – cos x

Jadi,

∫ sin x . 2x dx = y.z – ∫z dy

∫ sin x . 2x dx = 2x . – cos x – ∫(- cos x) 2 dx = – 2x cos x + 2 sin x (subtitusikan ke pers (1).

∫(x2 – 1) cos x dx = (x2 – 1) sin x – (- 2x cos x + 2 sin x) + C

∫(x2 – 1) cos x dx = (x2 – 1) sin x + 2x cos x – 2 sin x) + C

= (x2 – 3) sin x + 2x cos x + C

Jawaban: C

( sumber : https://matematikasia.wordpress.com/2017/01/30/konten-utama-6/ )

Itulah beberapa pola soal mengenai integral parsial untuk anda pelajari. Anda sanggup memperbesar dan memperluas pengetahuan anda dengan mempelajari dan mengerjakan kembali soal - soal yang ada di atas. Dengan demikian, pemahaman anda akan terus meningkat. Selamat Belajar !!

Sumber http://www.contohsoaljawab.com/

Share this post

Berlangganan update artikel terbaru via email: