Cara Merubah Bentuk A Sin X+ B Cos X
Salah satu bentuk unik dari trigonometri yang sering ditemukan yaitu a sin x+b cos x. Bentuk tersebut akan anda temui pada penyelesaian persamaan trigonometri salah satunya.
Adapun bentuk a sin x + b cos x tersebut sanggup diubah ibarat berikut,
$ k = \sqrt{a^2 + b^2 } \\ k = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (- 2)^2 } \\ k = \sqrt{12 + 4} \\ k = 4 $
$ \tan \theta = \frac{a}{b} \\ \tan \theta = \frac{ 2\sqrt{3}}{- 2} \\ \tan \theta = -\sqrt{3} \\ \theta = 120 ^\circ $
Sehingga
$ 2\sqrt{3} \sin (5x) - 2 \cos (5x ) = k \cos ( 5x - \theta ) \\ 2\sqrt{3} \sin (5x) - 2 \cos (5x ) = 4 \cos ( 5x - 120 ^\circ ) $
Soal 3. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan sin x-cos x =1 untuk $ 0 \leq x \leq 360^\circ $ ?
Pembahasan:
Untuk ini kita akan cari bentuk umum ibarat di atas terlebih dahulu. Selanjutnya gres kita cari penyelesaian persamaan trigonometri.
$$ \sin x - \cos x = k \cos (x - \theta ) \\ a = 1 \, \,b = -1 \\ k = \sqrt{a^2 + b^2 } \\ k = \sqrt{1^2 + (-1)^2 } \\ k = \sqrt{1 + 1} \\ k = \sqrt{2} \\ \tan \theta = \frac{a}{b} \\ \tan \theta = \frac{ 1}{- 1} \\ \tan \theta = -1 \\ \theta = 135 ^\circ \\ \sin x - \cos x = 1 \rightarrow \sqrt{2} \cos (x - 135 ^\circ ) = 1 $$ Selanjutnya gunakan cara mencari persamaan trigonometri. Karena fungsi yaitu cos maka penyelesaiannya,$$ \sqrt{2} \cos (x - 135 ^\circ ) = 1 \\ \cos (x - 135 ^\circ ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos (x - 135 ^\circ ) = \cos 45^\circ $$
$ f(x) = x - 135 ^\circ \, $ dan $ \theta = 45^\circ $
Jika anda ragu, sebaiknya baca lagi cara menuntaskan persamaan trigonometri, khususnya cosinus.
Penyelesaian Pertama:
$ f(x) = \theta + k . 2 \pi \rightarrow f(x) = \theta + k \times 360^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = \theta + k \times 360^\circ \\ x - 135 ^\circ & = 45^\circ + k \times 360^\circ \\ x & = 180^\circ + k \times 360^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 180^\circ + (-1) \times 360^\circ \\ & = 180^\circ - 360^\circ \\ & = -180^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 180^\circ + 0 \times 360^\circ \\ & = 180^\circ + 0 \\ & = 180^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 180^\circ + 1 \times 360^\circ \\ & = 180^\circ + 360^\circ \\ & = 540^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \end{align} $
didapat : $ \{ 180^\circ \} $
Penyelesaian Kedua :
$ f(x) = - \theta + k . 2 \pi \rightarrow f(x) = - \theta + k \times 360^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = -\theta + k \times 360^\circ \\ x - 135 ^\circ & = -45^\circ + k \times 360^\circ \\ x & = 90^\circ + k \times 360^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 90^\circ + (-1) \times 360^\circ \\ & = 90^\circ - 360^\circ \\ & = -270^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 90^\circ + 0 \times 360^\circ \\ & = 90^\circ + 0 \\ & = 90^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 90^\circ + 1 \times 360^\circ \\ & = 90^\circ + 360^\circ \\ & = 550^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \end{align} $
didapat : $ \{ 90^\circ \} $
Kaprikornus nilai x yang memenuhi persamaan di atas yaitu $ \{ 90^\circ , \, 180^\circ \} $ Sumber http://www.marthamatika.com/
Adapun bentuk a sin x + b cos x tersebut sanggup diubah ibarat berikut,
Agar lebih gampang anda sanggup perhatikan pola soal dan pembahasan bentuk asin x+bcos x di bawah ini.
Soal 1. sin x + √3 cos x
Penyelesaian:
Sesuai bentuk umum, kita peroleh a=1 ; b= √3
Kita cari k dan θ, dimana
k= √(a2+b2) = √(12+(√3)2) =√4=2
tan θ = a/b = 1/√3
tan θ= tan 300
θ= 300
Jadi, sin x + √3 cos x= 2cos (x- 300)
Soal 2. $ 2\sqrt{3} \sin (5x) - 2 \cos (5x ) = k \cos ( 5x - \theta ) $
$ a = 2\sqrt{3} \, $ , $ b = - 2 $tan θ = a/b = 1/√3
tan θ= tan 300
θ= 300
Jadi, sin x + √3 cos x= 2cos (x- 300)
Soal 2. $ 2\sqrt{3} \sin (5x) - 2 \cos (5x ) = k \cos ( 5x - \theta ) $
$ k = \sqrt{a^2 + b^2 } \\ k = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (- 2)^2 } \\ k = \sqrt{12 + 4} \\ k = 4 $
$ \tan \theta = \frac{a}{b} \\ \tan \theta = \frac{ 2\sqrt{3}}{- 2} \\ \tan \theta = -\sqrt{3} \\ \theta = 120 ^\circ $
Sehingga
$ 2\sqrt{3} \sin (5x) - 2 \cos (5x ) = k \cos ( 5x - \theta ) \\ 2\sqrt{3} \sin (5x) - 2 \cos (5x ) = 4 \cos ( 5x - 120 ^\circ ) $
Soal 3. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan sin x-cos x =1 untuk $ 0 \leq x \leq 360^\circ $ ?
Pembahasan:
Untuk ini kita akan cari bentuk umum ibarat di atas terlebih dahulu. Selanjutnya gres kita cari penyelesaian persamaan trigonometri.
$$ \sin x - \cos x = k \cos (x - \theta ) \\ a = 1 \, \,b = -1 \\ k = \sqrt{a^2 + b^2 } \\ k = \sqrt{1^2 + (-1)^2 } \\ k = \sqrt{1 + 1} \\ k = \sqrt{2} \\ \tan \theta = \frac{a}{b} \\ \tan \theta = \frac{ 1}{- 1} \\ \tan \theta = -1 \\ \theta = 135 ^\circ \\ \sin x - \cos x = 1 \rightarrow \sqrt{2} \cos (x - 135 ^\circ ) = 1 $$ Selanjutnya gunakan cara mencari persamaan trigonometri. Karena fungsi yaitu cos maka penyelesaiannya,$$ \sqrt{2} \cos (x - 135 ^\circ ) = 1 \\ \cos (x - 135 ^\circ ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos (x - 135 ^\circ ) = \cos 45^\circ $$
$ f(x) = x - 135 ^\circ \, $ dan $ \theta = 45^\circ $
Jika anda ragu, sebaiknya baca lagi cara menuntaskan persamaan trigonometri, khususnya cosinus.
Penyelesaian Pertama:
$ f(x) = \theta + k . 2 \pi \rightarrow f(x) = \theta + k \times 360^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = \theta + k \times 360^\circ \\ x - 135 ^\circ & = 45^\circ + k \times 360^\circ \\ x & = 180^\circ + k \times 360^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 180^\circ + (-1) \times 360^\circ \\ & = 180^\circ - 360^\circ \\ & = -180^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 180^\circ + 0 \times 360^\circ \\ & = 180^\circ + 0 \\ & = 180^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 180^\circ + 1 \times 360^\circ \\ & = 180^\circ + 360^\circ \\ & = 540^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \end{align} $
didapat : $ \{ 180^\circ \} $
Penyelesaian Kedua :
$ f(x) = - \theta + k . 2 \pi \rightarrow f(x) = - \theta + k \times 360^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = -\theta + k \times 360^\circ \\ x - 135 ^\circ & = -45^\circ + k \times 360^\circ \\ x & = 90^\circ + k \times 360^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 90^\circ + (-1) \times 360^\circ \\ & = 90^\circ - 360^\circ \\ & = -270^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 90^\circ + 0 \times 360^\circ \\ & = 90^\circ + 0 \\ & = 90^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 90^\circ + 1 \times 360^\circ \\ & = 90^\circ + 360^\circ \\ & = 550^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \end{align} $
didapat : $ \{ 90^\circ \} $
Kaprikornus nilai x yang memenuhi persamaan di atas yaitu $ \{ 90^\circ , \, 180^\circ \} $ Sumber http://www.marthamatika.com/
0 Response to "Cara Merubah Bentuk A Sin X+ B Cos X"
Posting Komentar