Panjang Tali Minimum Yang Diharapkan Untuk Mengikat Pipa (Lingkaran)
Panjang pengikat minimum yang dibutuhkan untuk mengikat pipa berdiameter $d$ meter dalam satu ikatan (kumpulan), dimana satu ikatan (kumpulan) pipa terdiri dari $2,\ 3,\ 4, 5,\ \text{atau}\ n$ pipa.Soal yang terkadang jadi persoalan menyerupai yang disebutkan di atas yakni salah satu teladan persoalan penerapan matematika dalam kehidupan sehari-hari pada materi lingkaran. Masalah ini umumnya diujikan pada dikala mencar ilmu bulat di SMP, sehingga soal-soal menyerupai di atas sangat berpeluang diujikan pada Ujian Nasional Matematika SMP, kompetisi matematika SMP atau ujian seleksi masuk Sekolah Menengan Atas tertentu.
Soal yang hampir mirip, pernah diujikan pada dikala seleksi akademik masuk Asrama Yayasan Soposurung SMAN 2 Balige, soal lengkapnya menyerupai berikut ini:
Panjang tali yang dibutuhkan untuk mengikat $3$ batang kayu bila diameter kayu $14$ dm adalah...Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
(A).\ & 8.600\ cm \\
(B).\ & 860\ cm \\
(C).\ & 86\ cm \\
(D).\ & 8,6\ cm
\end{align}$
Sebagai gambaran tambahan, kita beri titik-titik suplemen pada gambar semoga menghitung panjang tali yang dibutuhkan (*minimum) untuk mengikat ketiga kayu diatas lebih mudah. Kurang lebih menyerupai berikut ini:
Panjang $AB=CD=EF=14$ dan panjang busur $BC=DE=FA$ sehingga $(AB+BC+CD+DE+EF+FA=3 \times (14+ BC)$
Perhatikan segitiga $PQR$ sama sisi dengan panjang sisi $14$ sehingga besar sudut: $\measuredangle QBC=60^{\circ}$.
Perhatikan persegi panjang $ABQP$, sehingga $\measuredangle BQP=90^{\circ}$; dan alasannya yakni $\measuredangle PQR=60^{\circ}$ sehingga besar $\measuredangle BQC=120^{\circ}$.
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{3} \times 2 \dfrac{22}{7} \cdot 7 \\
& =\dfrac{44}{3}
\end{align}$
Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
3 \times (AB+ BC) & =3 \times \left( 14+\dfrac{44}{3} \right) \\
& =42 +44 \\
& =86\ dm \\
& =8.600\ cm
\end{align}$
Berikut kita coba dapatkan bentuk umum untuk mencari panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk posisi bulat diikat mendatar, posisi bulat kita ilustrasikan menyerupai beberapa gambar berikut ini:
Satu Lingkaran
Dua Lingkaran
Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat dua buah bulat secara mendatar yang berdiameter $d$ menyerupai gambar adalah...
Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan yakni $(AB+BC+CD+DA)$,
Panjang $AB=CD=d$ dan panjang busur $BC=DA$. Sehingga panjang tali $(AB+BC+CD+DA=2 \times (d+ BC)$
Perhatikan persegi $ABCD$, sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$; dan $\measuredangle BPC=180^{\circ}$.
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{180}{360} \times \pi\ d \\
& =\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d
\end{align}$
Panjang tali minimum yakni $(AB+BC+CD+DA)$
$\begin{align}
2 \times (d+ BC) & =2 \times \left( d+\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d \right) \\
& =2d+ \pi\ \cdot d \\
& = \left( \pi\ + 2 \right)d
\end{align}$
Tiga Lingkaran
Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat tiga buah bulat secara mendatar yang berdiameter $d$ menyerupai gambar adalah...
Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan yakni $(AB+BC+CD+DA)$,
Panjang $AB=CD=2d$ dan panjang busur $BC=DA$. Sehingga panjang tali $(AB+BC+CD+DA=2 \times (2d+ BC)$
Perhatikan persegi panjang $ABCD$, sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$; dan
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{180}{360} \times \pi\ d \\
& =\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d
\end{align}$
Panjang tali minimum yakni $(AB+BC+CD+DA)$
$\begin{align}
2 \times (2d+ BC) & =2 \times \left( 2d+\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d \right) \\
& =4d+ \pi\ \cdot d \\
& = \left( \pi\ + 4 \right)d
\end{align}$
Empat Lingkaran
Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat empat buah bulat secara mendatar yang berdiameter $d$ menyerupai gambar adalah...
Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan yakni $(AB+BC+CD+DA)$,
Panjang $AB=CD=3d$ dan panjang busur $BC=DA$. Sehingga panjang tali $(AB+BC+CD+DA=2 \times (3d+ BC)$
Perhatikan persegi panjang $ABCD$, sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$; dan
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{180}{360} \times \pi\ d \\
& =\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d
\end{align}$
Panjang tali minimum yakni $(AB+BC+CD+DA)$
$\begin{align}
2 \times (3d+ BC) & =2 \times \left( 3d+\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d \right) \\
& =6d+ \pi\ \cdot d \\
& = \left( \pi\ + 6 \right)d
\end{align}$
- Untuk $1$ bulat $p=\left( \pi\ + 0 \right)d$
- Untuk $2$ bulat $p=\left( \pi\ + 2 \right)d$
- Untuk $3$ bulat $p=\left( \pi\ + 4 \right)d$
- Untuk $4$ bulat $p=\left( \pi\ + 6 \right)d$
$\vdots$ - Untuk $n$ bulat $p=\left( \pi\ + 2n-2 \right)d$
Berikut kita coba dapatkan bentuk umum untuk mencari panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk posisi bulat diikat bertingkat, posisi bulat kita ilustrasikan menyerupai beberapa gambar berikut ini:
Dua Lingkaran
Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat dua buah bulat secara mendatar yang berdiameter $d$ menyerupai gambar adalah...Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan yakni $(AB+BC+CD+DA)$,
Panjang $AB=CD=d$ dan panjang busur $BC=DA$. Sehingga panjang tali $(AB+BC+CD+DA=2 \times (d+ BC)$
Perhatikan persegi $ABCD$, sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$; dan $\measuredangle BPC=180^{\circ}$.
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{180}{360} \times \pi\ d \\
& =\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d
\end{align}$
Panjang tali minimum yakni $(AB+BC+CD+DA)$
$\begin{align}
2 \times (d+ BC) & =2 \times \left( d+\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d \right) \\
& =2d+ \pi\ \cdot d \\
& = \left( \pi\ + 2 \right)d
\end{align}$
Tiga Lingkaran
Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat tiga buah bulat yang berdiameter $d$ disusun bertingkat menyerupai gambar adalah...
Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan yakni $(AB+BC+CD+DE+EF+FA)$,
Panjang $AB=CD=EF=d$ dan panjang busur $BC=DE=FA$ sehingga $(AB+BC+CD+DE+EF+FA$$=3 \times (d+ BC)$
Perhatikan segitiga $PQR$ sama sisi dengan panjang sisi $d$ sehingga besar sudut: $\measuredangle QBC=60^{\circ}$.
Perhatikan persegi panjang $ABQP$, sehingga $\measuredangle BQP=90^{\circ}$; dan alasannya yakni $\measuredangle PQR=60^{\circ}$ sehingga besar $\measuredangle BQC=120^{\circ}$.
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{3} \times \pi\ d
\end{align}$
Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
3 \times (d+ BC) & =3 \times \left( d+\dfrac{1}{3} \times \pi\ d \right) \\
& =3d+ \pi\ d \\
& =(3+\pi) d
\end{align}$
Empat Lingkaran
Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat empat buah bulat yang berdiameter $d$ disusun bertingkat menyerupai gambar adalah...
Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan yakni $(AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HA)$,
Panjang $AB=CD=EF=GH=d$ dan panjang busur $BC=DE=FG=HA$ sehingga $AB+BC+CD+$$DE+EF+FG+GH+HA=$$4 \times (d+ BC)$
Perhatikan persegi panjang $ABPO$, sehingga $\measuredangle BPO=90^{\circ}$;
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{90}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{4} \times \pi\ d
\end{align}$
Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
4 \times (d+ BC) & =4 \times \left( d+\dfrac{1}{4} \times \pi\ d \right) \\
& =4d+ \pi\ d \\
& =(4+\pi) d
\end{align}$
Lima Lingkaran
Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat empat buah bulat yang berdiameter $d$ disusun bertingkat menyerupai gambar adalah...
Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan yakni $(AB+BC+CD+DE+$$EF+FG+GH+HA)$,
Panjang $AB=2d$, $CD=EF=GH=d$, panjang busur $BC=AH$ dan $DE=FG$ sehingga $AB+BC+CD+DE+$$EF+FG+GH+HA$$=2d+3d+2BC+2DE$$=5d+2BC+2DE$
Perhatikan persegi panjang $ABPO$, sehingga $\measuredangle BPO=90^{\circ}$;
Perhatikan segitiga $PQS$ yakni segitiga sama sisi dengan panjang sisi $d$ sehingga besar $\measuredangle BPC=120^{\circ}$ dan $\measuredangle DQE=60^{\circ}$.
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{3} \times \pi\ d
\end{align}$
Panjang busur $DE$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{60}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{6} \times \pi\ d
\end{align}$
Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
& 5d+2BC+2DE \\
& = 5d+2 (\dfrac{1}{3} \times \pi\ d )+2(\dfrac{1}{6} \times \pi\ d) \\
& = 5d+ \dfrac{2}{3} \pi\ d )+ \dfrac{1}{3} \pi\ d \\
& = 5d+ \pi\ d \\
& = (5 + \pi)d
\end{align}$
Enam Lingkaran
Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat empat buah bulat yang berdiameter $d$ disusun bertingkat menyerupai gambar adalah...
Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan yakni $(AB+BC+CD+$$DE+EF+FA)$,
Panjang $AB=CD=EF=2d$, dan panjang busur $BC=DE=FA$ sehingga $(AB+BC+CD+$$DE+EF+FA)$$=3(2d+BC)$
Perhatikan persegi panjang $ABPQ$, sehingga $\measuredangle BPO=90^{\circ}$;
Perhatikan segitiga $PQR$ yakni segitiga sama sisi dengan panjang sisi $2d$ sehingga besar $\measuredangle BQC=120^{\circ}$.
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{3} \times \pi\ d
\end{align}$
Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
& 3(2d+BC) \\
& = 3 (2d+ \dfrac{1}{3} \times \pi\ d ) \\
& = 6d+ \pi\ d ) \\
& = (6 + \pi)d
\end{align}$
- Untuk $2$ bulat $p=\left( \pi\ + 2 \right)d$
- Untuk $3$ bulat $p=\left( \pi\ + 3 \right)d$
- Untuk $4$ bulat $p=\left( \pi\ + 4 \right)d$
- Untuk $4$ bulat $p=\left( \pi\ + 5 \right)d$
$\vdots$ - Untuk $n$ bulat $p=\left( \pi\ + n \right)d$
Soal UMPTN 1993 (Rayon A) (*Soal Lengkap)
Enam buah pipa, masing-masing dengan garis tengah $d$, diikat dekat menyerupai pada gambar. Jika arah tali pengikat tegak lurus pada arah panjang pipa, maka panjang tali yang melilit pipa itu adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 9d \\
(B)\ & 3+ \dfrac{\pi}{2}d \\
(C)\ & (6+\pi)d \\
(D)\ & (6+\dfrac{3}{4}\pi)d \\
(D)\ & (12+2\pi)d
\end{align}$
Seperti hasil diskusi kita di atas panjang tali minimum yang diharapkan untuk mengikat enam pipa yakni $(6 + \pi)d$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yakni $(C)\ (6+\pi)d$
Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Ternyata ini Sebab Guru jadi Galak;
0 Response to "Panjang Tali Minimum Yang Diharapkan Untuk Mengikat Pipa (Lingkaran)"
Posting Komentar