Fungsi Komposisi
Fungsi Komposisi?
Dari uraian di atas kita peroleh defenisi fungsi komposisi dan syarat dua buah fungsi sanggup dikomposisikan sebagai berikut.
Berikut ini diberikan beberapa teladan soal fungsi komposisi.
(B) $\begin{align*} 3x^{2}-3x+7 \end{align*}$
(C) $\begin{align*} 3x^{2}+5x+3 \end{align*}$
(D) $\begin{align*} 6x^{2}-12x+9\end{align*}$
(E) $\begin{align*} 9x^{2}-15x+9\end{align*}$
Pembahasan
Misalkan kita mempunyai dua buah fungsi, yaitu fungsi $f$ dan fungsi $g$. Fungsi $f$ memetakan dari himpunan $A$ ke himpunan $B$, dan kita tulis $f:A\rightarrow B$. Fungsi $g$ memetakan dari himpunan $B$ ke himpunan $C$, dan kita tulis $g:\rightarrow C$.
Misalkan $\begin{align*} x\in A \end{align*}$. Jika $x$ dipetakan oleh fungsi $f$ menghasilkan $f(x)$, kemudian $f(x)$ dipetakan oleh $g$ menghasilkan $g(f(x))$, maka proses tersebut dinamakan dengan mengkomposisikan fungsi $g$ dengan $f$, dan fungsi yang dihasilkan disebut $komposisi\;fungsi$ $g$ dan $f$ yaitu fungsi yang memetakan himpunan $A$ ke himpunan $C$. Komposisi fungsi $g$ dan $f$ ditulis $g\circ f$ yang dibaca $g$ bundaran $f$.
Fungsi komposisi sanggup diilustrasikan menyerupai pada gambar berikut.
Misalkan $\begin{align*} x\in A \end{align*}$. Jika $x$ dipetakan oleh fungsi $f$ menghasilkan $f(x)$, kemudian $f(x)$ dipetakan oleh $g$ menghasilkan $g(f(x))$, maka proses tersebut dinamakan dengan mengkomposisikan fungsi $g$ dengan $f$, dan fungsi yang dihasilkan disebut $komposisi\;fungsi$ $g$ dan $f$ yaitu fungsi yang memetakan himpunan $A$ ke himpunan $C$. Komposisi fungsi $g$ dan $f$ ditulis $g\circ f$ yang dibaca $g$ bundaran $f$.
Fungsi komposisi sanggup diilustrasikan menyerupai pada gambar berikut.
Dari uraian di atas kita peroleh defenisi fungsi komposisi dan syarat dua buah fungsi sanggup dikomposisikan sebagai berikut.
Defenisi dan Syarat Fungsi Komposisi
Misalkan diketahui fungsi-fungsi:
$f:A\rightarrow B$ ditentukan dengan rumus $f(x)$, dan
$g:B\rightarrow C$ ditentukan dengan rumus $g(x)$.
Maka fungsi komposisi dari fungsi $f$ dan fungsi $g$ ditentukan oleh rumus:
Sedangkan komposisi fungsi $g$ dan $f$ ditentukan oleh rumus:
$f:A\rightarrow B$ ditentukan dengan rumus $f(x)$, dan
$g:B\rightarrow C$ ditentukan dengan rumus $g(x)$.
Maka fungsi komposisi dari fungsi $f$ dan fungsi $g$ ditentukan oleh rumus:
$\begin{align*} (g\circ f)(x)=g(f(x)) \end{align*}$
Syarat supaya fungsi $f$ dan fungsi $g$ sanggup dikomposisikan menjadi fungsi komposisi $g\circ f$ ialah irisan antara kawasan hasil fungsi $f$ dan kawasan asal fungsi $g$ bukan himpunan kosong dan $R_{f}\subseteq D_{g}$ Sedangkan komposisi fungsi $g$ dan $f$ ditentukan oleh rumus:
$\begin{align*}(f\circ g)(x)=f(g(x)) \end{align*}$
Syarat supaya fungsi $g$ dan fungsi $f$ sanggup dikomposisikan menjadi fungsi komposisi $f\circ g$ ialah irisan antara kawasan hasil fungsi $g$ dan kawasan asal fungsi $f$ bukan himpunan kosong dan $R_{g}\subseteq D_{f}$ .
Sifat - Sifat Fungsi Komposisi
a) Tidak berlaku sifat komutatif
Misal $I$ ialah fungsi $I(x)=x$ memenuhi $f\circ I= I\circ f= f$ maka $I$ ialah fungsi identitas.
$(f\circ g)(x)≠(g\circ f)$
b) Berlaku sifat asosiatif $((f\circ g)\circ h)(x)=(f\circ (g\circ f))(x)$
c) Memiliki fungsi identitasMisal $I$ ialah fungsi $I(x)=x$ memenuhi $f\circ I= I\circ f= f$ maka $I$ ialah fungsi identitas.
Berikut ini diberikan beberapa teladan soal fungsi komposisi.
Contoh Soal 1
Diketahui $f:R\rightarrow R$ dengan $f(x)=2x$ dan $g:R\rightarrow R$ dengan $g(x)=2x+1$. Tentukanlah:
(a) $(f\circ g)(x)$
(b) $(g\circ f)(x)$
Jawab
Diketahui:
$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=2x\\ (g\circ f)(x)&=2x+1 \end{align*}$
Ditanyakan:
(a) $(f\circ g)(x)$
(b) $(g\circ f)(x)$
Penyelesaian
(a). $(f\circ g)(x)$
$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=f(g(x))\\&=f(2x+)\\ &=2(2x+1)\\ &=4x+2 \end{align*}$
Jadi, $(f\circ g)(x)=4x+2$
(b) $(g\circ f)(x)$
$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=g(f(x))\\&=g(2x)\\ &=2(2x)+1\\ &=4x+1 \end{align*}$
Jadi, $(g\circ f)(x)=4x+1$
Contoh Soal 2
Diketahui fungsi $f(x)=x^{2}-x+3$ dan $g(x)=3x-2$. Fungsi komposisi $(f\circ g)(x)=….$
(A) $\begin{align*} 3x^{2}-4x+3 \end{align*}$(B) $\begin{align*} 3x^{2}-3x+7 \end{align*}$
(C) $\begin{align*} 3x^{2}+5x+3 \end{align*}$
(D) $\begin{align*} 6x^{2}-12x+9\end{align*}$
(E) $\begin{align*} 9x^{2}-15x+9\end{align*}$
Pembahasan
$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=f(g(x))\\ &=f(3x-2)\\ &=(3x-2)^{2}-(3x-2)+3\\ &=9x^{2}-12x+4-3x+2+3\\ &=9x^{2}-15x+9\\ \end{align*}$
Jadi, $\begin{align*} (f\circ g)(x) &=9x^{2}-15x+9\\ \end{align*}$
Jawaban D Contoh Soal 3
Diketahui fungsi $f:R\rightarrow R$ ditentukan oleh rumus $f(x)=2x+3$ dan $g:R\rightarrow R$ ditentukan dengan rumus $g(x)=x^{2}+x-2$. Nilai dari $(g\circ f)(-4)=....$
(A) $-20$
(B) $-16$
(C) $0$
(D) $18$
(E) $23$
Pembahasan
Sebelum memilih nilai $(g\circ f)(-4)$, terlebih dahulu kita tentukan rumus fungsi komposisi $(g\circ f)(x)$ sebagai berikut.
(A) $-20$
(B) $-16$
(C) $0$
(D) $18$
(E) $23$
Pembahasan
Sebelum memilih nilai $(g\circ f)(-4)$, terlebih dahulu kita tentukan rumus fungsi komposisi $(g\circ f)(x)$ sebagai berikut.
$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=g(f(x))\\ &=g(2x+3)\\ &=(2x+3)^{2}+(2x+3)-2\\ &=4x^{2}+12x+9+2x+3-2\\ &=4x^{2}+14x+10 \end{align*}$
Jadi, $\begin{align*} (g\circ f)(x) &=4x^{2}+14x+10 \end{align*}$ .
Kemudian kita cari nilai dari $(g\circ f)(-4)$, yaitu dengan cara substitusi $x=-4$ ke $(g\circ f)(x)$ sebagai berikut.
$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=4x^{2}+14x+10\\ (g\circ f)(-4)&=4x^{2}+14x+10\\ &=4(-4)^{2}+14(-4)+100\\ &=64-56+10\\ &=18 \end{align*}$
Jadi, $\begin{align*} (g\circ f)(-4) &=18 \end{align*}$
Jawaban D
Contoh Soal 4
UN Sekolah Menengan Atas 2017 Prog. IPS
Diketahui fungsi $f(x)=x^{2}+5x-15$ dan fungsi $g(x)=x+2$. Fungsi komposisi $(f\circ g)(x)= ....$
(A) $\begin{align*} x^{2}+9x+7 \end{align*}$
(B) $\begin{align*} x^{2}+9x-1 \end{align*}$
(C) $\begin{align*} x^{2}+7x+7 \end{align*}$
(D) $\begin{align*} x^{2}+5x+7 \end{align*}$
(E) $\begin{align*} x^{2}+5x-7 \end{align*}$
Pembahasan
$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=f(g(x))\\ &=f(x+2)\\ &=(x+2)^{2}+5(x+2)-15\\ &=x^{2}+4x+4+5x+10-15\\ &=x^{2}+9x-1 \end{align*}$
Jawaban B
(E) $\begin{align*} x^{2}+5x-7 \end{align*}$
Pembahasan
$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=f(g(x))\\ &=f(x+2)\\ &=(x+2)^{2}+5(x+2)-15\\ &=x^{2}+4x+4+5x+10-15\\ &=x^{2}+9x-1 \end{align*}$
Jawaban B
Contoh Soal 5
Dari fungsi $f$ dan $g$ diketahui $f(x)=2x^{2}+3x-5$ dan $g(x)=3x-2$. Agar $\begin{align*} (g\circ f)(t)=-11 \end{align*}$, maka nilai $t$ positif yang memenuhi ialah .....
$\begin{align*} &\textrm{A}.\;2\frac{1}{2}\\ &\textrm{B}.\;1\frac{1}{6}\\ &\textrm{C}.\;1\\ &\textrm{D}.\;\frac{1}{2}\\ &\textrm{E}.\;\frac{1}{6} \end{align*}$
Pembahasan
$\begin{align*} f(x)&=2x^{2}+3x-5\\ g(x)&=3x-2\\ (g\circ f)(t)&=-11 \end{align*}$
Maka:
$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=g(f(x))\\ &=g(2x^{2}+3x-5)\\ &=3(2x^{2}+3x-5)-2\\ &=6x^{2}+9x-15-2\\ &=6x^{2}+9x-17\\ (g\circ f)(t)&=-11\\ 6t^{2}+9t-17&=-11\\ 6t^{2}+9t-6&=0\\ (3t+6)(2t-1)&=0\\ 3t+6=0\;\;\textrm{atau}\;\;2t-1&=0\\ t=-2\;\;\textrm{atau}\;\;t&=\frac{1}{2} \end{align*}$
Jadi, nilai $t$ positif ialah $t=\frac{1}{2}$.
$\begin{align*} &\textrm{A}.\;2\frac{1}{2}\\ &\textrm{B}.\;1\frac{1}{6}\\ &\textrm{C}.\;1\\ &\textrm{D}.\;\frac{1}{2}\\ &\textrm{E}.\;\frac{1}{6} \end{align*}$
Pembahasan
$\begin{align*} f(x)&=2x^{2}+3x-5\\ g(x)&=3x-2\\ (g\circ f)(t)&=-11 \end{align*}$
Maka:
$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=g(f(x))\\ &=g(2x^{2}+3x-5)\\ &=3(2x^{2}+3x-5)-2\\ &=6x^{2}+9x-15-2\\ &=6x^{2}+9x-17\\ (g\circ f)(t)&=-11\\ 6t^{2}+9t-17&=-11\\ 6t^{2}+9t-6&=0\\ (3t+6)(2t-1)&=0\\ 3t+6=0\;\;\textrm{atau}\;\;2t-1&=0\\ t=-2\;\;\textrm{atau}\;\;t&=\frac{1}{2} \end{align*}$
Jadi, nilai $t$ positif ialah $t=\frac{1}{2}$.
Berikut beberapa teladan soal menuntaskan masalah-masalah kontekstual dengan memakai konsep fungsi komposisi.
Contoh Soal 6
(Masalah Gaji dan Tunjangan)
PT. Hinomaru menerapkan sistem yang unik dalam memperlihatkan tunjang kepada karyawannya. Di perusahan ini, setiap bulannya seorang karyawan akan mendapat dua macam proteksi yaitu tunjang keluarga dan proteksi kesehatan. Besarnya tunjang keluarga ditentukan dari $\frac{1}{5}$ honor pokok ditambah Rp$50.000,00$. Sementara besarnya proteksi kesehatan ialah setengah dari proteksi keluarga.
Berdasarkn situasi tersebut:
a) buatlah model matematika yang menyatakan korelasi besarnya proteksi kesehatan dan honor karyawan tersebut.
b) Berapakah besarnya proteksi kesehatan seorang karyawan yang mempunyai honor pokok Rp$2.000.000,00$.
Pembahasan
Diketahui:
$\begin{align*} \textrm{Tunjang}\;\textrm{keluarga}&=\frac{1}{5}\textrm{gaji}\;\textrm{pokok}+50.000\\ \textrm{Tunjangan}\;\textrm{kessehatan}&=\frac{1}{2}\textrm{tunjagan}\;\textrm{keluarga} \end{align*}$
Ditanyakan:
a) model matematika yang menyatakan korelasi besarnya proteksi kesehatan dan honor karyawan.
b) berapakah besarnya proteksi kesehatan seorang karyawan yang mempunyai honor pokok Rp$2.000.000,00$.
Penyelesaian
Misalkan:
a. Gaji pokok $=x$
Tunjangan keluarga $=y$
Tunjangan kesehatan $=z$
Maka sanggup dibentuk model matematikanya masing-masing sebgai berikut.
$\begin{align*} \textrm{Tunjang}\;\textrm{keluarga}&=\frac{1}{5}\textrm{gaji}\;\textrm{pokok}+50.000\\ y(x)&=\frac{1}{5}x+50.000\;\;\;\;....(1)\\ \textrm{Tunjangan}\;\textrm{kesehatan}&=\frac{1}{2}\textrm{tunjagan}\;\textrm{keluarga} \\ z(y)&=\frac{1}{2}y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;...(2) \end{align*}$
Besarnya proteksi kesehatan terhadap honor pokok ialah komposisi dari fungsi $(2)$ dan $(1)$, menyerupai berikut:
$\begin{align*} (z\circ y)(x)&=z(y(x))\\ &=z(\frac{1}{5}x+50.000)\\ &=\frac{1}{2}(\frac{1}{5}x+50.000)\\ (z\circ y)(x)&=\frac{1}{10}x+25.000 \end{align*}$
b. Besar proteksi kesehatan untuk seorang karyawan dengan honor pokok Rp$2.000.000,00$
$\begin{align*} (z\circ y)(x)&=\frac{1}{10}x+25.000\\ (z\circ y)(2.000.000)&=\frac{1}{10}\times 2.000.000 +25.000\\ &=200.000+25.000\\ &=225.000 \end{align*}$
Jadi, karyawan tersebut mendapat proteksi sebesar Rp$225.000$
Diketahui:
$\begin{align*} \textrm{Tunjang}\;\textrm{keluarga}&=\frac{1}{5}\textrm{gaji}\;\textrm{pokok}+50.000\\ \textrm{Tunjangan}\;\textrm{kessehatan}&=\frac{1}{2}\textrm{tunjagan}\;\textrm{keluarga} \end{align*}$
Ditanyakan:
a) model matematika yang menyatakan korelasi besarnya proteksi kesehatan dan honor karyawan.
b) berapakah besarnya proteksi kesehatan seorang karyawan yang mempunyai honor pokok Rp$2.000.000,00$.
Penyelesaian
Misalkan:
a. Gaji pokok $=x$
Tunjangan keluarga $=y$
Tunjangan kesehatan $=z$
Maka sanggup dibentuk model matematikanya masing-masing sebgai berikut.
$\begin{align*} \textrm{Tunjang}\;\textrm{keluarga}&=\frac{1}{5}\textrm{gaji}\;\textrm{pokok}+50.000\\ y(x)&=\frac{1}{5}x+50.000\;\;\;\;....(1)\\ \textrm{Tunjangan}\;\textrm{kesehatan}&=\frac{1}{2}\textrm{tunjagan}\;\textrm{keluarga} \\ z(y)&=\frac{1}{2}y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;...(2) \end{align*}$
Besarnya proteksi kesehatan terhadap honor pokok ialah komposisi dari fungsi $(2)$ dan $(1)$, menyerupai berikut:
$\begin{align*} (z\circ y)(x)&=z(y(x))\\ &=z(\frac{1}{5}x+50.000)\\ &=\frac{1}{2}(\frac{1}{5}x+50.000)\\ (z\circ y)(x)&=\frac{1}{10}x+25.000 \end{align*}$
b. Besar proteksi kesehatan untuk seorang karyawan dengan honor pokok Rp$2.000.000,00$
$\begin{align*} (z\circ y)(x)&=\frac{1}{10}x+25.000\\ (z\circ y)(2.000.000)&=\frac{1}{10}\times 2.000.000 +25.000\\ &=200.000+25.000\\ &=225.000 \end{align*}$
Jadi, karyawan tersebut mendapat proteksi sebesar Rp$225.000$
Contoh Soal 7
(Masalah Produksi Barang)
Sebuah perusahan memakai 2 buah mesin untuk mengubah materi mentah menjadi materi jaadi. Mesin I mengubah materi mentah menjadi materi setengah jadi, dan mesin II mengubah materi setengah jadi menjadi materi jadi. Mesin I mengikuti fungsi $f(x)=2x-3$ dan mesin II mengikuti fungsi $g(x)=2x^{2}+x$.
(a) Apabila materi mentah yang dipakai sebanya $x$, tentukan persamaan hasilnya.
(b) Apabila materi mentah yang dipakai sebanyak $100$ kg, maka berapakah banyak hasil produksi?
Pembahasan
Pada kasus ini,hasil olahan mesin I dilanjutkan oleh mesin II.
\[\begin{align*}\textrm{Dimana}:\;\textrm{mesin}\;\textrm{I}&=f(x)=2x-3\\ \textrm{mesin}\;\textrm{II}&=g(x)=2x^{2}+x\\ \end{align*}\]
\[\begin{align*}\textrm{Dimana}:\;\textrm{mesin}\;\textrm{I}&=f(x)=2x-3\\ \textrm{mesin}\;\textrm{II}&=g(x)=2x^{2}+x\\ \end{align*}\]
(a) Persamaan hasil produksi ialah komposisi fungsi $f$ dan $g$ sebagai berikut:
$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=g(f(x))\\ (g\circ f)(x)&=g(2x-3)\\ (g\circ f)(x)&=2(2x-3)^{2}+x\\ (g\circ f)(x)&=2(4x^{2}-12x+9)+x\\ (g\circ f)(x)&=8x^{2}-24x+18+x\\ (g\circ f)(x)&=8x^{2}-23x+18\\ \end{align*}$
Jadi, persamaan risikonya $\begin{align*} (g\circ f)(x)&=8x^{2}-23x+18 \end{align*}$ .
(b) Jika materi mentah yang dipakai sebanyak $100$ kg, banyakk hasil produksinya:
(b) Jika materi mentah yang dipakai sebanyak $100$ kg, banyakk hasil produksinya:
$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=8x^{2}-23x+18\\ (g\circ f)(100)&=8(100)^{2}-23(100)+18\\ &=80.000-2300+18\\ &=77.718 \end{align*}$
Jadi, risikonya produksinya sebanyak $77.718$
Demikianlah yang sanggup penulis berikan. Apabila dalam goresan pena ini terdapat kekeliruan baik itu proses penyelesaian maupun penulisannya, mohon segera dikomentari pada kolom komentar di bawah ini atau pengunjung sanggup menghubungi saya melalui akun fesbuk Yan Fardian atau e-mail: yanfardian876@gmail.com. Terima kasih....
Sumber http://yan-fardian.blogspot.com
0 Response to "Fungsi Komposisi"
Posting Komentar