Sukubanyak (Polinomial)
A. Bentuk Umum:
an xn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + … + … a2x2 + a1x + a0
n = derajat suku banyak
a0 = konstanta
an, an – 1, an – 2, … = koefisien dari xn, xn – 1, xn – 2, …
B. Pembagian Suku Banyak
Bentuk Umum
F(x) = P(x) . H(x) + S(x)
F(x) = suku banyak
P(x) = pembagi
H(x) = hasil bagi
S(x) = sisa
C. Teorema Sisa:
Jika suatu suku banyak F(x) dibagi oleh (x – k) maka sisanya yaitu F(k)
Jika pembagi berderajat n maka sisanya berderajat n – 1
Jika suku banyak berderajat m dan pembagi berderajat n, maka hasil baginya berderajat m – n
Cara Pembagian Suku Banyak
Contoh:
F(x) = 2x3 – 3x2 + x + 5 dibagi dengan P(x) = 2x2 – x – 1
1. Pembagian biasa
Jadi hasil baginya: H(X) = x – 1, sisanya S(x) = x + 4
2. Cara Horner/Skema
Bisa dipakai untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang sanggup difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1
Cara:
- Tulis koefisiennya saja → harus runtut dari koefisien xn, xn – 1, … sampai konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)
Contoh: untuk 4x3 – 1, koefisien-koefisiennya yaitu 4, 0, 0, dan -1 (untuk x3, x2, x, dan konstanta)
- Jika koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x)
- Jika pembagi sanggup difaktorkan, maka:
Jika pembagi sanggup difaktorkan menjadi P1 dan P2, maka S(x) = P1.S2 + S1
Jika pembagi sanggup difaktorkan menjadi P1, P2, P3, maka S(x) = P1.P2.S3 + P1.S2 + S1
Jika pembagi sanggup difaktorkan menjadi P1, P2, P3, P4, maka S(x) = P1.P2.P3.S4 + P1.P2.S3 + P1.S2 + S1
dan seterusnya
Untuk soal di atas,
P(x) = 2x2 – x – 1 = (2x + 1)(x – 1)
P1 : 2x + 1 = 0 → x = –½
P2 : x – 1 = 0 → x = 1
Cara Hornernya:
H(x) = 1.x – 1 = x – 1
S(x) = P1.S2 + S1 = (2x + 1).1/2 + 7/2 = x + ½ + 7/2 = x + 4
3. Cara koefisien tak tentu
F(x) = P(x).H(x) + S(x)
Untuk soal di atas, alasannya yaitu F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka
H(x) berderajat 3 – 2 = 1
S(x) berderajat 2 – 1 = 1
Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d
Maka:
2x3 – 3x2 + x + 5 = (2x2 – x – 1).(ax + b) + (cx + d)
Ruas kanan:
= 2ax3 + 2bx2 – ax2 – bx – ax – b + cx + d
= 2ax3 + (2b – a)x2 + (–b – a + c)x + (–b + d)
Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan:
x3 → 2 = 2a → a = 2/2 = 1
x2 → –3 = 2b – a → 2b = –3 + a = –3 + 1 = –2 → b = –2/2 = –1
x → 1 = –b – a + c → c = 1 + b + a = 1 – 1 + 1 → c = 1
Konstanta → 5 = –b + d → d = 5 + b = 5 – 1 → d = 4
Jadi:
H(x) = ax + b = 1.x – 1 = x – 1
S(x) = cx + d = 1.x + 4 = x + 4
D. Teorema Faktor
Suatu suku banyak F(x) memiliki faktor (x – k) jikalau F(k) = 0 (sisanya jikalau dibagi dengan (x – k) yaitu 0)
Catatan: jikalau (x – k) yaitu faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)
Tips:
- Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, sanggup dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstantanya ang akan menawarkan sisa = 0
- Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka niscaya salah satu akarnya yaitu x = 1
- Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka niscaya salah satu akarnya yaitu x = –1
Contoh:
Tentukan penyelesaian dari x3 – 2x2 – x + 2 = 0
Faktor-faktor dari konstantanya, yaitu 2, yaitu ±1 dan ±2
Karena jumlah seluruh koefisien + konstantanya = 0 (1 – 2 – 1 + 2 = 0), maka, niscaya x = 1 yaitu salah satu faktornya, jadi:
Jadi x3 – 2x2 – x + 2 = (x – 1)(x2 – x – 2)
= (x – 1)(x – 2)(x + 1)
x = 1 x = 2 x = –1
Jadi himpunan penyelesaiannya: {–1, 1, 2}
E. Sifat Akar-Akar Suku Banyak
Pada persamaan berderajat 3:
ax3 + bx2 + cx + d = 0 akan memiliki akar-akar x1, x2, x3
dengan sifat-sifat:
- Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = – b/a
- Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
- Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = – d/a
Pada persamaan berderajat 4:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 akan memiliki akar-akar x1, x2, x3, x4
dengan sifat-sifat:
- Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a
- Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a
- Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = – d/a
- Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 = e/a
Dari kedua persamaan tersebut, kita sanggup menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya
(amati pola: –b/a, c/a, –d/a , e/a, …)
Sumber http://gurumatiksma.blogspot.com
0 Response to "Sukubanyak (Polinomial)"
Posting Komentar