Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Setelah di postingan sebelumnya penulis membahas wacana kedudukan suatu titik terhadap lingkaran disini, maka pada goresan pena kali ini kembali penulis memaparkan mengenai kedudukan suatu garis terhadap lingkaran.

Misalkan terdapat garis $g$ dengan persamaan $y=mx+n$ dan bulat $L$ dengan persamaan $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$. Kedudukan garis $g$ terhadap bulat $L$ sanggup ditentukan dengan cara mensubstitusi persamaan garis $g$ ke persamaan bulat $L$. Perhatikan berikut.
$\begin{align*} x^{2}+y^{2}+Ax+By+C&=0\\ x^{2}+(mx+n)^{2}+Ax+B(mx+n)+C&=0\\ x^{2}+m^{2}x^{2}+2mnx+n^{2}+Ax+Bmx+Bn+C&=0\\ (1+m^{2})x^{2}+(2mn+A+Bm)x+(n^{2}+Bn+C)&=0 \end{align*}$ 

Persamaan terakhir dari uraian di atas merupakan persamaan kuadrat dalam variabel $x$. Kita tahu bahwa pada persamaan kuadarat:

$(a)$ Jika $D>0$ maka persamaan kuadarat mempunyai dua akar real berlainan.

$(b)$ Jika $D=0$ maka persamaan kuadarat mempunyai akar kembar.

$(c)$ Jika $D<0$ maka persamaan kuadarat tidak mempunyai akar real (tidak punya penyelesaian)

Berdasarkan fakta ini, maka sanggup dibentuk kesimpulan sebagai berikut.

Kedudukan garis $g:y=mx+n$ terhadap bulat $L:x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ yaitu:

• Jika $D>0$ maka garis memotong bulat di dua titik berlainan;
• Jika $D=0$ maka garis memotong bulat di satu titik (menyinggung);
• Jika $D<0$ maka garis tidak memotong lingkaran.

Dengan $D$ ialah diskriminan persamaan kuadarat hasil substitusi garis $g$ ke bulat $L$, dimana $D=b^{2}-4ac$.

Ada pun kedudukan garis terhadap bulat menyerupai pada gambar berikut

gb. kedudukan garis terhadap lingkaran

 Perhatikanlah beberapa pola soal di bawah ini.

Nomor 1

$a$. Tentukan kedudukan garis $3x+y-3=0$ terhada bulat $x^{2}+y^{2}=9$

$b$. Tentukan kedudukan garis $2x+y=5$ terhada bulat $x^{2}+y^{2}=5$

Solusi bab $(a)$

Persamaan garis $3x+y-3=0$ ekuivalen dengan $y=3-3x$,kemudian disubstitusi ke persamaan bulat sebagai berikut.

$\begin{align*} x^{2}+y^{2}&=9\\ x^{2}+(3-3x)^{2}&=9\\ x^{2}+9-18x+9x^{2}&=9\\ 10x^{2}-18x=0 \end{align*}$

Dari persamaan kuadrat $10x^{2}-18x+9=0$ diperoleh $a=10$, $b=-18$, dan $c=0$, sehingga:

$\begin{align*} D&=b^{2}-4ac\\ D&=(-18)^{2}-4(10)(0)\\ D&=324-0\\ D&=324 \end{align*}$

Oleh alasannya $D>0$ $(324>0)$ maka garis $3x+y-3=0$ memotong bulat $x^{2}+y^{2}=9$ di dua titik berlainan.

Solusi bab $(b)$

Persamaan garis $2x+y=5$ ekuivalen dengan $y=5-2x$. Persamaan garis $y=5-2x$ kita substitusi ke persamaan bulat $x^{2}+y^{2}=5$, sebagai berikut.

$\begin{align*} x^{2}+y^{2}&=5\\ x^{2}+(5-2x)^{2}&=5\\ x^{2}+25-20x+4x^{2}&=5\\ 5x^{2}-20x+20&=0\\ x^{2}-4x+4&=0 \end{align*}$

Dari persamaan kuadrat terakhir diperoleh $a=1$, $b=-4$, dan $c=4$,sehingga:
$\begin{align*}D&=b^{2}-4ac\\ D&=(-4)^{2}-4(1)(4)\\ D&=0 \end{align*}$
Karena $D=0$ maka garis $2x+y=5$ menyinggung bulat $x^{2}+y^{2}=5$.

Nomor 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari:
$\begin{align*} \left\{\begin{matrix} 3x-y-16 =0& \\ x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0& \end{matrix}\right. \end{align*}$

Jawab
Sistem persamaan tersebut terdiri dari persamaan garis dan persamaan lingkaran. Himpunan penyelesaiannya ialah titik potong garis dengan lingkaran.
$3x-y-16=0\rightarrow y=3x-16$
$\begin{align*}x^{2}+y^{2}-6x+4y-12&=0\\x^{2}+(3x-16)^{2}-6x+4(3x-16)-12&=0\\10x^{2}-90x+180&=0\\x^{2}-9x+18&=0\\(x-3)(x-6)&=0\\x=3\;\;\;atau\;\;x&=6\end{align*}$

$\begin{align*}x=3&\rightarrow y=3(3)-16=-7\\x=6&\rightarrow y=3(6)-16=2\end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya $(3,-7)$ dan $(6,2)$.

Nomor 3

Tentukan nilai $p$ biar garis $y=x+9$ menyinggung bulat $x^{2}+y^{2}+8x-10y+21-p=0$.

Jawab
Susbtitusi  $y=x+9$ ke persamaan bulat $x^{2}+y^{2}+8x-10y+21-p=0$ sebagai berikut.
$\begin{align*}x^{2}+y^{2}+8x-10y+21-p&=0\\x^{2}+(x+9)^{2}+8x-10(x+9)+21-p&=0\\2x^{2}+16x+12-p&=0\end{align*}$

Agar garis menyinggung bulat maka $D=0$.
$\begin{align*} D&=0\\ b^{2}-4ac&=0\\ 16^{2}-4(2)(12-p)&=0\\ 256-8(12-p)&=0\\ -8(12-p)&=-256\\ 12-p&=32\\ p&=-20 \end{align*}$
Jadi,nilai $p=-20$.

Nomor 4

Buktikan bahwa garis $y=2x+1$ memotong bulat $x^{2}+y^{2}+4x+6y+8=0$ di dua titik yang berbda dan tentukan pula titik potongnya.

Jawab
Substitusi $y=2x+1$ ke $x^{2}+y^{2}+4x+6y+8=0$ sebagai berikut.
$\begin{align*} x^{2}+y^{2}+4x+6y+8&=0\\ x^{2}+(2x+1)^{2}+4x+6(2x+1)+8&=0\\ x^{2}+4x^{2}+4x+1+4x+12x+6+8&=0\\ 5x^{2}+20x+15&=0\\ x^{2}+4x+3&=0 \end{align*}$

Akan ditunjukkan garis memotong bulat di dua titik,maka $D>0$.
$\begin{align*} D&>0\\ b^{2}-4ac&>0\\ 4^{2}-4(1)(3)&>0\\ 4&>0\;\;\;\;\;\;\;\;....(\textrm{terbukti}) \end{align*}$

Titik potong garis dan lingkaran
$\begin{align*} x^{2}+4x+3&=0\\ (x+1)(x+3)&=0\\ x=-1\;\;\;\textrm{atau}\;\;\;x&=-3\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \;\;\textrm{Untuk}\;\;x=-1\rightarrow y=2(-1)+1&=-1\\ \bullet \;\;\textrm{Untuk}\;\;x=-3\rightarrow y=2(-3)+1&=-5 \end{align*}$
Jadi, titik potong garis dan bulat ialah $(-1,-1)$ dan $(-3,-5)$.

Demikian goresan pena ini diberikan, dan apabila ditemukan kesalahan baik itu uraian,jawaban maupun kekeliruan dalam penulisan, mohon segera dikomentari pada kolom komentar di bawah.

Semoga bermanfaat.

Salam Matematika.

Sumber http://yan-fardian.blogspot.com

Share this post

Berlangganan update artikel terbaru via email: