Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Nilai pengganti $x$ yang memenuhi persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ disebut akar atau penyelesaian persamaan kuadrat itu.
Contoh
Selidikilah apakah $x=2$ dan $x=-3$ merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat $x^{2}-x-2=0$.
Jawab
Substitusi $x=2$ ke persamaan kuadrat yang diberikan.
$\begin{align*}x^{2}-x-2&=0\\(2)^{2}-(2)-2&=0\\4-4&=0\end{align*}$
Untuk $x=2$ pernyataan bernilai benar maka $2$ ialah akar dari $x^{2}-x-2=0$.
Substitusi $x=-3$ ke persamaan kuadrat yang diberikan.
$\begin{align*}x^{2}-x-2&=0\\(-3)^{2}-(-3)-2&=0\\9+3-2&≠0\end{align*}$
Untuk $x=-3$ pernyataan bernilai salah maka $x=-3$ bukan akar dari persamaan kuadrat $x^{2}-x-2=0$.
Selanjutnya kita akan mempelajari "bagaimana cara memilih akar-akar persamaan kuadrat?". Akar-akar suatu persamaan kuadrat sanggup ditentukan dengan cara pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus kuadrat. Namun, dalam goresan pena ini, penulis hanya akan membahas cara pemfaktoran dan rumus kuadrat saja.
Cara Pemfaktoran
a. Persamaan Kuadrat berbentuk $x^{2}+bx+c=0$
Bila bentuk $x^{2}+bx+c=0$ mempunyai akar-akar rasional maka bentuk itu sanggup difaktorkan menjadi $(x+m)(x+n)=0$ dengan ketentuan:
a. Persamaan Kuadrat berbentuk $x^{2}+bx+c=0$
Bila bentuk $x^{2}+bx+c=0$ mempunyai akar-akar rasional maka bentuk itu sanggup difaktorkan menjadi $(x+m)(x+n)=0$ dengan ketentuan:
$\begin{align*}m+n&=b\\mn&=c\end{align*}$
Contoh 1
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut.
(a). $x^{2}+8x+15=0$
(b). $y^{2}+y-2=0$
(c). $x^{2}-4x+3=0$
Jawab
(a)
$\begin{align*}x^{2}+8x+15&=0\\(x+3)(x+15)&=0\\x=-3\;atau\;x&=-5\end{align*}$
Jadi,akar-akar dari $x^{2}+8x+15=0$ ialah $-3$ dan $-5$.
(b)
$\begin{align*}y^{2}+y-2&=0\\(y-1)(y+2)&=0\\y=1\;\;atau\;\;y&=-2\end{align*}$
Jadi,akar-akar dari $y^{2}+y-2=0$ ialah $1$ dan $-2$.
(c)
$\begin{align*}x^{2}-4x+3&=0\\(x-1)(x-3)&=0\\x=1\;\;atau\;\;x&=3\end{align*}$
Jadi,akar-akar dari $x^{2}-4x+3=0$ ialah $1$ dan $3$
Contoh 2
Salah satu akar dari persamaan kuadrat $x^{2}-mx+18=0$ ialah $3$. Tentukan akar yang lainnya.
Jawab
Substitusi $x=3$ ke persamaan kuadrat.
$\begin{align*}x^{2}-mx+18&=0\\3^{2}-3m+18&=0\\9-3m+18&=0\\-3m&=-27\\m&=9\end{align*}$
Persamaan kuadrat tersebut menjadi $x^{2}-9x+18=0$, sehingga kita sanggup memilih akar yang lainnya,sebagai berikut.
$\begin{align*}x^{2}-9x+18&=0\\(x-3)(x-6)&=0\\x=3\;\;atau\;\;x&=6\end{align*}$
Jadi akar yang lainnya ialah $6$.
b. Persamaan kuadrat berbentuk $ax^{2}+bx+c=0$,dengan $a≠1$
Jika persamaan kuadrat berbentuk $ax^{2}+bx+c=0$ mempunyai akar-akar rasional,maka bentuk itu sanggup difaktorkan menjadi $\begin{align*}\frac{(ax+m)(ax+n)}{a}\end{align*}$ dengan ketentuan:
Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat $2x^{2}-7x+6=0$.
Jawab
$\begin{align*}2x^{2}-7x+6&=0\\\frac{(2x-4)(2x-3)}{2}&=0\\(x-2)(2x-3)&=0\\x=2\;\;atau\;\;x&=\frac{2}{3}\end{align*}$
Contoh 2
Salah satu akar persamaan kuadrat $(m-1)x^{2}+4x-m=0$ ialah $-2$. Tentukan nilai $m$ dan akar yang lainnya.
Jawab
Substitusi $x=-2$ ke persamaan kuadrat,maka diperoleh:
$\begin{align*}(m-1)x^{2}+4x-m&=0\\(m-1)(-2)^{2}+4(-2)-m&=0\\4m-4-8-m&=0\\3m-12&=0\\3m&=12\\m&=4\end{align*}$
Sehingga persamaan kuadrat tersebut menjadi $3x^{2}+4x-4=0$. Dengan demikian,akar yang lain sanggup kita tentukan.
$\begin{align*}3x^{2}+4x-4&=0\\\frac{(3x-2)(3x+6)}{3}&=\\(3x-2)(x+2)&=0\\x=\frac{2}{3}\;\;atau\;\;x&=-2\end{align*}$
Jadi,akar yang lainnya ialah $\begin{align*}\frac{2}{3}\end{align*}$.
Dengan Cara Rumus Kuadrat
Selain dengan cara memfaktorkan,akar-akar suatu persamaan kuadrat jga sanggup ditentukan dengan memakai rumus kuadrat atau rumus $abc$.
(a). $x^{2}+8x+15=0$
(b). $y^{2}+y-2=0$
(c). $x^{2}-4x+3=0$
Jawab
(a)
$\begin{align*}x^{2}+8x+15&=0\\(x+3)(x+15)&=0\\x=-3\;atau\;x&=-5\end{align*}$
Jadi,akar-akar dari $x^{2}+8x+15=0$ ialah $-3$ dan $-5$.
(b)
$\begin{align*}y^{2}+y-2&=0\\(y-1)(y+2)&=0\\y=1\;\;atau\;\;y&=-2\end{align*}$
Jadi,akar-akar dari $y^{2}+y-2=0$ ialah $1$ dan $-2$.
(c)
$\begin{align*}x^{2}-4x+3&=0\\(x-1)(x-3)&=0\\x=1\;\;atau\;\;x&=3\end{align*}$
Jadi,akar-akar dari $x^{2}-4x+3=0$ ialah $1$ dan $3$
Contoh 2
Salah satu akar dari persamaan kuadrat $x^{2}-mx+18=0$ ialah $3$. Tentukan akar yang lainnya.
Jawab
Substitusi $x=3$ ke persamaan kuadrat.
$\begin{align*}x^{2}-mx+18&=0\\3^{2}-3m+18&=0\\9-3m+18&=0\\-3m&=-27\\m&=9\end{align*}$
Persamaan kuadrat tersebut menjadi $x^{2}-9x+18=0$, sehingga kita sanggup memilih akar yang lainnya,sebagai berikut.
$\begin{align*}x^{2}-9x+18&=0\\(x-3)(x-6)&=0\\x=3\;\;atau\;\;x&=6\end{align*}$
Jadi akar yang lainnya ialah $6$.
b. Persamaan kuadrat berbentuk $ax^{2}+bx+c=0$,dengan $a≠1$
Jika persamaan kuadrat berbentuk $ax^{2}+bx+c=0$ mempunyai akar-akar rasional,maka bentuk itu sanggup difaktorkan menjadi $\begin{align*}\frac{(ax+m)(ax+n)}{a}\end{align*}$ dengan ketentuan:
$\begin{align*}m+n&=b\\mn&=ac\end{align*}$
Contoh 1Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat $2x^{2}-7x+6=0$.
Jawab
$\begin{align*}2x^{2}-7x+6&=0\\\frac{(2x-4)(2x-3)}{2}&=0\\(x-2)(2x-3)&=0\\x=2\;\;atau\;\;x&=\frac{2}{3}\end{align*}$
Contoh 2
Salah satu akar persamaan kuadrat $(m-1)x^{2}+4x-m=0$ ialah $-2$. Tentukan nilai $m$ dan akar yang lainnya.
Jawab
Substitusi $x=-2$ ke persamaan kuadrat,maka diperoleh:
$\begin{align*}(m-1)x^{2}+4x-m&=0\\(m-1)(-2)^{2}+4(-2)-m&=0\\4m-4-8-m&=0\\3m-12&=0\\3m&=12\\m&=4\end{align*}$
Sehingga persamaan kuadrat tersebut menjadi $3x^{2}+4x-4=0$. Dengan demikian,akar yang lain sanggup kita tentukan.
$\begin{align*}3x^{2}+4x-4&=0\\\frac{(3x-2)(3x+6)}{3}&=\\(3x-2)(x+2)&=0\\x=\frac{2}{3}\;\;atau\;\;x&=-2\end{align*}$
Jadi,akar yang lainnya ialah $\begin{align*}\frac{2}{3}\end{align*}$.
Dengan Cara Rumus Kuadrat
Selain dengan cara memfaktorkan,akar-akar suatu persamaan kuadrat jga sanggup ditentukan dengan memakai rumus kuadrat atau rumus $abc$.
Jika diketahui persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ dengan $a≠0$, maka akar-akar persamaan kuadrat tersebut ditentukan oleh rumus:
$\begin{align*}x_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\end{align*}$
Perhatikan pola soal berikut.
Contoh
Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut dengan rumus $abc$.
(1) $x^{2}-3x-18=0$
(2) $4p^{2}+3p-10=0$
(3) $3x^{2}-6x+2=0$
Jawab
(1) Dari persamaan kuadrat $x^{2}-3x-18=0$ diketahui:
$a=1$, $b=-3$, dan $c=-18$
maka akar-akarnya:
$\begin{align*}x_{1,2}&=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\&=\frac{-(-3)±\sqrt{(-3)^{2}-4(1)(-18)}}{2.1}\\&=\frac{3±\sqrt{9+72}}{2}\\&=\frac{3±\sqrt{81}}{2}\\&=\frac{3±9}{2}\end{align*}$
$\begin{align*}x_{1}=\frac{3+9}{2}=6\end{align*}$ atau $\begin{align*}x_{2}=\frac{3-9}{2}=-3\end{align*}$
Jadi,penyelesaiannya ialah $6$ dan $-3$.
(2) Dari persamaan kuadrat $4p^{2}+3p-10=0$ diperoleh $a=4$, $b=3$, dan $c=-10$. Maka penyelesaiannya:
$\begin{align*}p_{1,2}&=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\&=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4(4)(-10)}}{2.4}\\&=\frac{3±\sqrt{9+160}}{8}\\&=\frac{3±\sqrt{169}}{8}\\&=\frac{3±13}{8}\end{align*}$
$\begin{align*}p_{1}=\frac{16}{8}=2\end{align*}$ atau $\begin{align*}p_{2}=\frac{-10}{8}=-\frac{5}{4}\end{align*}$.
Jadi,penyelesaian persamaan kuadrat tersebut ialah $2$ dan $\begin{align*}-\frac{5}{4}\end{align*}$.
(3) Dari persamaan kuadrat $3x^{2}-6x+2=0$ diperoleh $a=3$, $b=-6$, dan $c=2$, maka:
$\begin{align*}x_{1,2}&=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\&=\frac{-(-6)±\sqrt{(-6)^{2}-4(3)(2)}}{2.3}\\&=\frac{6±\sqrt{36-24}}{6}\\&=\frac{6±\sqrt{12}}{6}\\&=\frac{6±2\sqrt{3}}{6}\end{align*}$
$\begin{align*}x_{1}=\frac{6+2\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{3}(3+\sqrt{3})\end{align*}$ atau $\begin{align*}x_{2}=\frac{6-2\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{3}(3-\sqrt{3})\end{align*}$.
Jadi,akar-akar persamaan kuadrat tersebut adlalah $\begin{align*}\frac{1}{3}(3+\sqrt{3})\end{align*}$ dan $\begin{align*}\frac{1}{3}(3-\sqrt{3})\end{align*}$.
Dua cara di atas tentu mempunyai kelebihan dan kekurangannya masing-masing. Rumus $abc$ biasanya dipakai ketika suatu persamaan kuadrat sulit difaktorkan.
Sumber http://yan-fardian.blogspot.com
(2) Dari persamaan kuadrat $4p^{2}+3p-10=0$ diperoleh $a=4$, $b=3$, dan $c=-10$. Maka penyelesaiannya:
$\begin{align*}p_{1,2}&=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\&=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4(4)(-10)}}{2.4}\\&=\frac{3±\sqrt{9+160}}{8}\\&=\frac{3±\sqrt{169}}{8}\\&=\frac{3±13}{8}\end{align*}$
$\begin{align*}p_{1}=\frac{16}{8}=2\end{align*}$ atau $\begin{align*}p_{2}=\frac{-10}{8}=-\frac{5}{4}\end{align*}$.
Jadi,penyelesaian persamaan kuadrat tersebut ialah $2$ dan $\begin{align*}-\frac{5}{4}\end{align*}$.
(3) Dari persamaan kuadrat $3x^{2}-6x+2=0$ diperoleh $a=3$, $b=-6$, dan $c=2$, maka:
$\begin{align*}x_{1,2}&=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\&=\frac{-(-6)±\sqrt{(-6)^{2}-4(3)(2)}}{2.3}\\&=\frac{6±\sqrt{36-24}}{6}\\&=\frac{6±\sqrt{12}}{6}\\&=\frac{6±2\sqrt{3}}{6}\end{align*}$
$\begin{align*}x_{1}=\frac{6+2\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{3}(3+\sqrt{3})\end{align*}$ atau $\begin{align*}x_{2}=\frac{6-2\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{3}(3-\sqrt{3})\end{align*}$.
Jadi,akar-akar persamaan kuadrat tersebut adlalah $\begin{align*}\frac{1}{3}(3+\sqrt{3})\end{align*}$ dan $\begin{align*}\frac{1}{3}(3-\sqrt{3})\end{align*}$.
Dua cara di atas tentu mempunyai kelebihan dan kekurangannya masing-masing. Rumus $abc$ biasanya dipakai ketika suatu persamaan kuadrat sulit difaktorkan.
Demikianlah beberapa cara dan pola soal memilih akar atau penyelesaian suatu persamaan kuadrat. Jika ada kekeliruan mohon segera dikomentari alasannya ialah kritik dan saran pengunjung sangat dibutuhkan untuk sanggup lebih baik lagi.
0 Response to "Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat"
Posting Komentar