Soal Dan Pembahasan Ujian Nasional Sma Tahun 2017 Kegiatan Ipa Bab Ii

Pada kesempatanan kali ini kembali penulis mncoba memperlihatkan pembahasan soal ujian nasional tahun 2017 tingkat Sekolah Menengan Atas kegiatan IPA yang merupakan kelanjutan dari pembahasan soal pada postingan terdahulu. Dalam pembahasan ini, penulis tidak memperlihatkan Trik Cepat dalam mengerjakan soal, namum lebih mengutamakan urutan langkah-langkah dalam penyelesaian soal.

Nomor 11

Hadi, Yuda, dan Toni menabung di bank. Jumlah uang tabungan Yuda dan dua kali uang Toni, Rp150.000,00 lebih banyak dari uang tabungan Hadi. Jumlah uang tabungan Hadi dan Toni ialah Rp1.450.000,00. Jumlah uang tabungan mereka bertiga Rp2.000.000,00. Jumlah uang Yuda dan Toni ialah ....

(A) Rp1.650.000,00
(B) Rp1.450.000,00
(C) Rp1.200.000,00
(D) Rp900.000,00
(E) Rp750.000,00

Pembahasan

Misalkan $a$ uang Hadi, $b$ uang Yuda, dan $c$ uang Toni. Kemudian kita buat model matematika yang sesuai menurut keterangan dari soal. Setelah itu kita selesaikan dengan metode sistem persamaan linier tiga variabel.
$$\begin{align} b+2c=a+150.000\rightarrow b+2c-a&=150.000\\ a+c&=1.450.000\\ a+b+c&=2.000.000 \end{align}$$ 
Substitusi pers.$(2)$ ke pers.$(3)$, diperoleh nilai $b$ sebagai berikut.
$\begin{align*} a+b+c&=2.000.000\\ 1.450.000+b&=2.000.000\\ b&=550.000 \end{align*}$
Jumlahkan pers.$(1)$ dan $(2)$.
$\underline{\begin{align*} b+2c-a &=\;\;\;150.000 \\ a+c&=1.450.000 \end{align*}}_{-}\\ \begin{align*} b+3c&=1.600.000\;\;\;\;\;\;(4) \end{align*}$

Substitusi nilai $b=550.000$ ke pers.$4$ sebagai berikut.
$\begin{align*} b+3c&=1.600.000\\ 550.000+3c&=1.600.000\\ 3c&=1.050.000\\ c&=350.000 \end{align*}$
Sekarang kita telah memperoleh uang Yuda dan Toni berturut-turut Rp$550.000$ dan Rp$350.000$. Sehingga jumlah uang Yuda dan Toni Rp$550.000,00$ $+$ Rp$350.000,00=$ Rp$900.000,00$.

Kunci D

Nomor 12

Seorang penjahit menciptakan dua jenis pakaian. Pakaian jenis A memerlukan kain katun 1 m dan kain sutera 2 m, sedangkan pakaian jenis B memerlukan kain katun 2,5 m dan dan kain sutera 1,5 m. Bahan katun yang tersedia 70 m dan kain sutera 84 m. Pakaian jenis A dijual dengan keuntungan Rp50.000,00/buah, sedangkan pakaian jenis B dijual dengan keuntungan Rp60.000,00/buah. Agar penjahit memperoleh keuntungan maksimum, banyak pakaian jenis A dan jenis B yang terjual berturut-turut ialah ....

(A) 20 dan 16
(B) 26 dan 20
(C) 30 dan 6
(D) 16 dan 30
(E) 30 dan 16

Pembahasan

Data dari permasalahan di atas sanggup dinyatakan ibarat pada tabel berikut.

Dari tabel tersebut kita memperoleh hubungan sebagai berikut.
$\begin{align*} x+2,5y&\leq 70\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)\\ 2x+1,5y&\leqslant 84\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)\\ x&\geqslant 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)\\ y&\geqslant 0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4) \end{align*}$
Koordinat titik potong pertidaksamaan $(1)$ dan $(2)$ sanggup ditentukan dengan metode eliminasi atau substitusi. Misalkan kita gunakan metode substitusi.
Dari persamaan $\begin{align*} x+2,5y&\leq 70\Leftrightarrow x&=70-2,5y \end{align*}$  disubstitusi ke persamaan $(2)$.
$\begin{align*} 2x+1,5y&=84\\ 2(70-2,5y)+1,5y&=84\\ 140-5y+1,5y&=84\\ -3,5y&=-56\\ y&=16 \end{align*}$
Nilai $y=16$ disubstitusi, contohnya ke $x+2,5y= 70$ sehingga diperoleh nillai $x$.
$\begin{align*} 2x+1,5y&=84\\ 2x+1,5(16)&=84\\ 2x+24&=84\\ 2x&=60\\ x&=30 \end{align*}$

Jadi, supaya penjahit memperoleh keuntungan maksimum, banyak pakaian jenis $A$ dan $B$ terjual berturut-turut $30$ buah dan $16$ buah.

Kunci E

Nomor 13

Nilai dari $2x-y$ dari persamaan matriks $\begin{align*} \begin{pmatrix} 5 & 3x \\ y-1 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7 & 1-2y \\ 2x & 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -4 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\end{align*}$  ialah ....

(A) $-7$
(B) $-1$
(C) $1$
(D) $7$
(E) $8$

Pembahasan

$\begin{align*}\begin{pmatrix} 5 & 3x \\ y-1 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7 & 1-2y \\ 2x & 6 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -4 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\\\ \begin{pmatrix} 5-7 & 3+2y \\ y-2x-1 & 2-6 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 0-2 & 18+2 \\ 0-8 & -12+8 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} -2 & 3+2y \\ {\color{Red} y-2x-1} & -4 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} -2 & 20 \\ {\color{Red} -8} & -4 \end{pmatrix} \end{align*}$
Dengan kesamaan matrik diperoleh:
$\begin{align*} y-2x-1&=-8\\ -2x+y&=-7\;\;\;..(\mathrm{bagi\;dengan}\;-1)\\ 2x-y&=7 \end{align*}$ 
Jadi, nilai dari $2x-y$ ialah $7$.

Kunci D

Nomor 14

Diketahui matriks $K=\begin{pmatrix} k & l \\ m & n \end{pmatrix}, A=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 8 \\ -2 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},\textrm{dan}\; D=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$  . Jika $KA=B$, $KC=D$, nilai dari $\begin{align*} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}$ ialah ....

(A) $\begin{align*} \begin{pmatrix} -6 \\ 5 \end{pmatrix} \end{align*}$
(B) $\begin{align*} \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \end{pmatrix} \end{align*}$
(C) $\begin{align*} \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \end{pmatrix} \end{align*}$
(D) $\begin{align*} \begin{pmatrix} 12 \\ -5 \end{pmatrix} \end{align*}$
(E) $\begin{align*} \begin{pmatrix} -14 \\ 7 \end{pmatrix} \end{align*}$

Pembahasan
$\begin{align*} KA&=B\\ \begin{pmatrix} k & l \\ m & n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 8 \\ -2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 2k \\ 2m \end{pmatrix}&= \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \end{pmatrix} \end{align*}$
$\begin{align*} 2k&=8\;\;\;\Leftrightarrow k=4\\ 2m&=-2\Leftrightarrow m=-1 \end{align*}$ 

$\begin{align*} KC&=D\\ \begin{pmatrix} k & l \\ m & n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}\\ k+l&=6\;\;\;\;....(*)\\ m+n&=2\;\;\;\;....(**) \end{align*}$ 

Substitusi $k=4$ dan $m=-1$ ke persamaan $(*)$ dan $(**)$.
$\begin{align*} k+l&=6\;\;\;\;\;\;....(*)\\ 4+l&=6\\ l&=2\\ m+n&=2\;\;\;\;\;\;....(**)\\ -1+n&=2\\ n&=3 \end{align*}$ 
Sehingga matriks $\begin{align*} K=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \end{align*}$ .
$\begin{align*} K\begin{pmatrix} -2 \\ 11 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -6 \\ 5 \end{pmatrix} \end{align*}$ 

Kunci A

Nomor 15
Suatu barisan geometri: $16,8,4,2,...$, maka jumlah $n$ suku pertama ialah ....
(A) $\begin{align*} 2^{n-5}-32 \end{align*}$
(B) $\begin{align*} 2^{5-n}-32 \end{align*}$
(C) $\begin{align*} 32-2^{5-n}\end{align*}$
(D) $\begin{align*} 32-2^{n-5}\end{align*}$
(E) $\begin{align*} 32-\left(\frac{1}{2}\right)^{5-n} \end{align*}$

Pembahasan
Dari barisan geometri diperoleh:
$\begin{align*} U_{1}&=a=16\\ r &=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\\ \end{align*}$
Oleh alasannya ialah rasio $\begin{align*} r=\frac{1}{2}<1 \end{align*}$ , maka jumlah $n$ suku pertama ditentukan oleh rumus:

$\begin{align*} S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r} \end{align*}$

Sehingga,

$\begin{align*} S_{n}&=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\\ &=\frac{16\left(1-(\frac{1}{2})^{n}\right)}{1-\frac{1}{2}}\\ &=\frac{16(1-2^{-n})}{\frac{1}{2}}\\ &=32(1-2^{-n})\\&=32-32.2^{-n}\\&=32-2^{5}.2^{-n}\\&=32-2^{5-n} \end{align*}$ 

Jadi, jumlah $n$ suku pertama barisan geometri tersebut adalah\begin{align*}S_{n}=32-2^{5-n}\end{align*}

Kunci C

Nomor 16

Adit menabung setiap bulan di bank. Pada bulan pertama Adit menabung sebesar Rp80.000,00 dan pada bulan-bulan berikutnya uang yang ditabung selalu Rp5.000,00 lebih besar dari uang yang ditabung pada bulan sebelumnya. Jumlah uang tabungan Adit selama satu tahun ialah ....

(A) Rp1.015.000,00
(B) Rp1.150.000,00
(C) Rp1.290.000,00
(D) Rp1.320.000,00
(E) Rp1.340.000,00

Pembahasan

Besar tabungan Adit dari bulan pertama ke bulan berikutnya membentuk contoh barisan aritmetika. Dari soal tersebut diperoleh:

$\begin{align*}U_{1}&=a=80.000\\b&=5.000\end{align*}$

Kita tahu bahwa 1 tahun = 12 bulan, dan dengan memanfaatkan rumus jumlah $n$ suku pertama barisan aritmetika kita sanggup menghitung jumlah uang tabungan Adit selama 1 tahun.

$\begin{align*} S_{n}&=\frac{n}{2}\left(2a+(n-1)b\right)\\ &=\frac{12}{2}\left(2(80.000)+(12-1)5000\right)\\ &=6(160.000+11\times 5.000)\\ &=6(215.000)\\ &=1.290.000 \end{align*}$

Kunci C

Nomor 17

Suatu zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 2 jam. Jika pada pukul 06.00 massa zat tersebut 1.600 gram, massa zat yang tersisa pada pukul 14.00 ialah ....

(A) $100$ gram
(B) $50$ gram
(C) $25$ gram
(D) $12,5$ gram
(E)  $6,25$ gram

Pembahasan

Dari soal diketahui:

Lama zat radioaktif meluruh $t=14.00-06.00=8$ jam

Massa mula-mula $N_{0}=1.600$ gram

Waktu paruh $T_{\frac{1}{2}}=2$ jam

Massa zat radioaktif yang tersisa sesudah meluruh selama 8 jam.

$\begin{align*} N_{t}&=N_{0}\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}\\ &=1.600\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{8}{2}}\\ &=1.600\left ( \frac{1}{2} \right )^{4}\\ &=\frac{1.600}{16}\\ &=100 \end{align*}$ 

Jadi, massa zat yang tersisa ialah 100 gram.

Kunci A

Nomor 18

Setiap hari seorang pengrajin tas memproduksi dua jenis tas. Modal untuk tas model I ialah Rp20.000,00 dengan keuntungan $40%$. Modal untuk tas model II ialah Rp30.000,00 dengan keuntungan $%30%$. Jika modal yang tersedia setiap harinya ialah Rp1.000.000,00 dan paling banyak hanya sanggup memproduksi 40 tas, keuntungan terbesar yang sanggup dicapai pengrajin tas tersebut ialah ....

(A) $30%$
(B) $34%$
(C) $36%$
(D) $38%$
(E) $40%$

Pembahasan
Data dari soal di atas sanggup disajikan ke dalam tabel berikut ini.

Model matematikanya menurut tabel di atas sebagai berikut.

$\begin{align*} x+y&=40\;\;\;\;\;\;\;....(1)\\ 20.000x+30.000y=1.000.000\;\;\mathrm{atau}\;\;2x+3y&=100\;\;\;\;\;....(2)\\ \end{align*}$ 

Fungsi Keuntungan $f(x,y)=8.000x+9.000y$

Nilai $x$ dan $y$ sanggup dicari dengan eliminasi atau substitusi kedua persamaan tersebut. Misalkan dengan metode substitusi.

Dari persamaan $(1)$

$\begin{align*} x+y=40\;\Leftrightarrow \;x=40-y \end{align*}$   kemudian disubstitusi ke persamaan $(2)$.

$\begin{align*} 2x+3y&=100\\ 2(40-y)+3y&=100\\ 80-2y+3y&=100\\ y&=20 \end{align*}$ 

Nilai $y=20$ disubstitusi ke $x=40-y$ diperoleh.

$\begin{align*} x&=40-y\\ x&=40-20\\ x&=20 \end{align*}$  
Keuntungan maksimum diperoleh ketika nilai $x=y=20$.
$\begin{align*} f(x,y)&=8.000x+9.000y\\ f(20,20)&=8.000(20)+9.000(20)\\ &=160.000+180.000\\ &=340.000 \end{align*}$
Persentase keuntungan sebagai berikut.
$\begin{align*} \%U&=\frac{U}{Hb}\times 100\%\\ &=\frac{340.000}{1.000.000}\times 100\%\\ &=34\% \end{align*}$

Kunci B

Nomor 19

Nilai dari \[\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^{2}-16}{1-\sqrt {x^{2}-3}}\] ialah ....

(A) $-16$
(B) $-4$
(C) $4$
(D) $16$
(E) $32$

Pembahasan
Jika pribadi disubstitusi diperoleh nilai limit penyebut sama dengan 0. Oleh alasannya ialah itu terlebih dahulu kita rasionalkan bab penyebut dengan cara dikali dengan akar sekawan dari penyebut yaitu $(1+\sqrt{x-3})$.
\[\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^{2}-16}{1-\sqrt {x-3}}&=\lim_{x\rightarrow4}\frac{x^{2}-16}{1-\sqrt {x-3}}\times \frac{1+\sqrt{x-3}}{1+\sqrt {x-3}}\\ &=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{(x^{2}-16)(1+\sqrt {x-3})}{1-(x-3)}\\ &=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{(x+4)(x-4)(1+\sqrt {x-3})}{-(x-4)}\\ &=\lim_{x\rightarrow 4}-(x+4)(1+\sqrt {x-3})\\ &=-(4+4)(1+\sqrt{4-3})\\ &=(-8)(2)\\ &=-16 \end{align*}\]

Kunci A

mmm

Nomor 20

Nilai $\begin{align*} \lim_{x\rightarrow\infty }\left (2x-\sqrt{4x^{2}+x+3} \right ) \end{align*}$  ialah ....

(A) $-\frac{1}{2}$ 

(B) $-\frac{1}{4}$

(C) $0$

(D) $\frac{1}{4}$

(E) $\frac{1}{2}$

Pembahasan

Limit tak sampai bentuk akar dimana fungsi di dalam akar merupakan fungsi kuadrat, sanggup ditentukan dengan rumus berikut.

\[\lim_{x\rightarrow\infty }(\sqrt{ax^{2}+bx+c}-\sqrt{px^{2}+qx+r})=\left\{\begin{matrix} \infty ,\mathrm{untuk}\;a>p\\ \frac{b-q}{2\sqrt{a}},\mathrm{untuk}\;a=p\\ -\infty ,\mathrm{untuk}\;a<p \end{matrix}\right.\]

Kita gunakan rumus tersebut untuk menuntaskan soal ini.

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow\infty }\left (2x-\sqrt{4x^{2}+x+3} \right ) &=\lim_{x\rightarrow\infty}(\sqrt{(2x)^{2}}-\sqrt{4x^{2}+x+3})\\ &=\lim_{x\rightarrow\infty}(\sqrt{4x^{2}}-\sqrt{4x^{2}+x+3})\\ \end{align*}$ 

Dari bentuk limit terakhir diperoleh $a=p=4$, $b=0$ dan $q=1$. Oleh alasannya ialah $a=p=4$, maka:

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow\infty}(\sqrt{4x^{2}}-\sqrt{4x^{2}+x+3})&=\frac{b-q}{2\sqrt{a}}\\ &=\frac{0-1}{2\sqrt{4}}\\ &=\frac{-1}{2(2)}\\ &=-\frac{1}{4} \end{align*}$ 

Kunci B

Demikianlah pembahasan ujian nasional bab II ini diberikan. Apabila dalam pembahasan ini ditemukan kesalah atau kekeliruan, mohon dengan sangat kritik dan sarannya. Penulis sanggup dihubungi via fesbuk: Yan Fardian atau e-mail: yanfardian876@gmail.com. agar bermanfaat dan terima kasih.

Sumber http://yan-fardian.blogspot.com

Share this post

Berlangganan update artikel terbaru via email: