Peluang : Kaidah Pencacahan (Aturan Perkalian, Permutasi Dan Kombinasi)
Dalam kehidupan sehari-hari terkadang kita menjumpai hal-hal yang di luar asumsi kita.
Dari gambar diatas, terdapat 1 kartu brigde atau kartu remi yang hendak dibuka, kita belum sanggup mengetahui secara niscaya kartu apa yang akan muncul, kita hanya sanggup memperkirakannya. Mencari keumungkinan kartu yang muncul.
Kita juga tidak sanggup mengetahui secara niscaya setiap insiden akan terjadi atau tidak. Misalnya, kita tidak sanggup mengetahui keadaan cuaca pada keesokan harinya. kita hanya sanggup memperkirakan apakan esok akan hujan atau cerah.
Kemungkinan suatu insiden menyerupai itu disebut PELUANG
A. KAIDAH PENCACAHAN
Kaidah pencacahan diharapkan untuk menuntaskan problem yang berkaitan dengan peluang. Kaidah pencacahan dibedakan menjadi dua yaitu hukum perkalian dan hukum p0jumlahan.
1. Aturan Perkalian dan Aturan Penjumlahan
Gambar 1 Perjalanan dari kota A ke Kota C melalui kota B
Dari gambar 1 mengambarkan perjalanan seseorang dari kota A ke kota C melalui kota B. Dari kota A ke kota B seseorang sanggup menentukan melalui jalan r, s atau t, sedangankan perjalanan dari kota B ke kota C seseorang sanggup memilik melalui kota m atau n. Ada berapa cara biar orang tersebut dari kota A sanggup hingga ke kota C melalui kota B?
Banyaknya pilihan perjalanan dari kota A ke kota B dilanjutkan kota C sanggup ditujukan dengan diagram dibawah ini
Gambar 2 Diagram rute perjalanan dari kota A ke kota B dilanjutkan kota C
Dari gambar diatas terlihat rute perjalanan seseorang dari kota A ke kota C melalui kota B sanggup dilakukan dengan 6 cara,yaitu {(r,m), (r,n), (s,m), (s,n), (t,m), (t,n)}
Dari permasalahan diatas, kalau dari kota A menuju kota B ada 3 jalan/cara yang berbeda dan ada 2 cara yang sanggup dipilih rute perjalana dari kota B menuju kota C, sehingga diperoleh (3 x 2 ) cara yang berbeda perjalana dari kota A menuju kota C melalui kota B. Kiadah ini disebut hukum perkalian.
Jika suatu insiden terjadi dengan x cara yang berbeda serta ada insiden lain yang terjadi dengan y cara berbeda, maka kedua insiden itu sanggup terjadi dengan:
a. (xy) cara berbeda (aturan perkalian)
b. (m + n) cara berbeda (aturan penjumlahan)
Contoh :
a. Untuk menentukan pengurus kelas, terdapat 3 siswa calon ketua kelas, 2 siswa calon sekretaris dan 4 siswa calon bendahara, dan tidak ada siswa yang sanggup dicalonkan untuk dua posisi berbeda. Ada berapa cara untuk menentukan susunan pengurus kelas yang terdiri dari satu orang ketua kelas, sekretaris dan bendahara yang sanggup dibentuk?
Jawab:
Untuk menentukan ketua kelas ada 3 cara, alasannya ialah ada 3 calon.
Untuk menentukan sekretaris ada 2 cara, alasannya ialah ada 2 calon.
Untuk menentukan ketua kelas ada 4 cara, alasannya ialah ada 4 calon.
Maka, hal ini memakai prinsip perkalian sehingga susunan pengurus kelas sanggup dibuat dengan (3 x 2 x 4) cara = 24 cara.
Sehingga ada 24 susunan pengurus kelas yang sanggup dibentuk.
b. Dari angka 0,1,2,3,4,5 akan disusun bilangan ratusan. Berapa banyak bilangan yang terbentuk dari angka tersebut kalau tidak ada nagka yang berulang?
Jawab :
Ada 6 angka yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5 akan dibuat angka ratusan tidak berulang.
Untuk mengisi posisi ratusan sanggup dipilih dari 5 angka, angka 0 (nol) tidak termasuk, alasannya ialah ratusan tidak diawali dengan 0. Maka masukan 5 pada kotak ratusan.
Untuk mengisi posisi puluhan sanggup dipilih dari 5 angka, selain angka yang telah dimasukan pada kolom ratusan. Maka masukan 5 pada kotak ratusan.
Untuk mengisi posisi satuan sanggup dipilih dari 4 puluhan. Tentunya pilihan angka itu yang belum dipakai untukmengisi posisi ratusan dan puluhan alasannya ialah dilarang ada angka yang berulang. Maka masukan 4 pada kotak satuan.
Tabel 1. Banyaknya bilangan yang sanggup dibentu tanpa berulang
| Ratusan | Puluhan | Satuan |
| 5 | 5 | 4 |
Jadi banyaknya bilangan yang sanggup dibuat ialah : 5 x 5 x 4 = 100
2. Faktorial
Jika n ialah bilangan bulat positif, maka perkalian bilangan bulat konkret dari 1 hingga n disebut n faktorial, disimbolkan n! yaitu
n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 3 x 2 x 1
0! = 1
1! = 1
maka diperoleh:
Contoh :
a. 5!
b. 7!/4!
c. 9!/4!5!
Jawab :
a. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
3. Permutasi
Permutasi ialah susunan yang mungkin dari unsur-unsur berbeda dari objek-objek dengan memperhatikan urutannya. Dalam permutasi urutan menjadi hal yang penting, alasannya ialah bedaurutan maka menjadi susunan yang berbeda.
Banyaknya permutasi dari n objek yang disusun r objek sanggup dinotasikan menjadi nPr sehingga dirumuskan menjadi:
nPr = n (n-1) (n-2) (n-3) ... (n-r+1) atau
Contoh :
a. 6P2
b. 6P5
c. 6P6
Jawab :
a. Permutasi dengan Beberapa Objek Sama
Dengan berapa cara kata SAS sanggup disusun?
Susunan dari kata SAS ialah SAS, ASS, SSA, maka ada 3 cara.
Untuk permutasi dengan beberapa objek sama sanggup dirumuskan menjadi
1) Banyaknya permutasidari n objekdengan y objek sama ( y < n), sebagaiberikut :
nPy = n!/y!
2) Banyaknya permutasi yang terdiri n objek yang dipilih dari n objek, dimana terdapat beberapa objek yang sama, menyerupai m1 objek sama, m2 objek yang sama, m3 objek yang sama, adalah
nPm1, m2, m3 = n!/m1! m2! m2!
Contoh :
Carilah berapa abanyak permutasi yang sanggup dibuat dari kata MATEMATIKA?
Jawab :
Dari 10 abjad kata MATEMATIKA, terdapat 2 abjad M, 3 abjad A, dan 2 abjad T, maka permutasi yang sanggup dibuat ialah
10P2, 3, 3 = 10!/2!3!2!= 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3!/2! 3! 2! = 151.200
b. Permutasi Siklis
Permutasi siklis merupakan permutasi yang susun melingkar. Seperti P, Q, R disusun melingkar pada gambar dibawah ini :
Gambar 3 Permutasi siklis dengan 3 objek
Jika dilihat urutan tersebut searah dengan jarus jam maka didapat susunan PQR, RPQ, QPR ialah sama.
Maka banyaknya permutasi siklis dari 3 objek ialah = 3!/3 = 3 x 2!/3 = 2! = 2
Dapat dilihat terdapat 2 susunan yang berbeda ialah PQR dan RPQ
Secara umum banyaknya susunan dari permutasi siklis adalah
Banyaknya permutasi siklis dari n objek = (n-1)!
Contoh :
Dalam rapat terdapat 6 orangyang duduk mengelilingi meja bundar. Dengan berpapa cara mereka sanggup duduk melingkar dengan urutan yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya susunan kawasan duduk melingkar yang sanggup dibuat adalah
(n-1)! = (6-1)! = 5! = 120 cara.
Maka banyaknya cara dari ke-6 orang yang mengikuti rapat biar sanggup duduk melingkar mengelilingi meja bunda dengan urutan yang berbeda ada 120 cara.
4. Kombinasi
Kombinasi ialah susunan objek/unsur dari sekumpulan objek yang mungkin dari beberapa unsur yang tidak memperhatikan urutan atau urutan tidak berpengarung.
Dalam kombinasi urutan menjadi tidak penting atau tidak berpengaruh. Jadi, susunan RPQ, PRQ, QPR ialah susunan yang sama. Dalam kombinasi yang membedakan suatu susunan ialah perbedaan unsur-unsurnya (objek-objeknya).
Banyaknya r objek dan n objek sanggup dinotasikan menjadi C atau nCr sanggup dirumuskan menjadi
Contoh :
1. Hitunglah nilai 5C2
2. Dalam tim bola volly terdapat 6 orang pemain yang akan bertandi pekan depan, 6 orang pemain itu akan dipilih dari 12 pemain yang terdpaat dalam tim tersebut. Ada berapa cara susunan pemain yang akan bertanding?
Jawab :
2. Susunan tersebut ialah kombinasi 6 objek dari 12 objek, urutan tidak diperhitungkan sehingga untuk mencari susunan adalah
Jadi, banyanya cara susunan itu ialah 924
Itulah sedikit ihwal bahan peluang, tapi gres hukum perkalian, permutasi dan kombinasi.
Terimakasih.
Sumber http://ngajimatematika.blogspot.com
0 Response to "Peluang : Kaidah Pencacahan (Aturan Perkalian, Permutasi Dan Kombinasi)"
Posting Komentar