Menentukan Minor, Kofaktor, Matriks Kofaktor Dan Adjoin Matriks

Matriks Kofaktor dan Adjoin Matriks - Setelah mempelajari bahan matematika kali ini, anda sanggup memahami ihwal cara memilih minor dan kofaktor suatu matriks. Andapun sanggup mencari adjoin suatu matriks, sehingga nantinya adjoin matriks sanggup dipakai dalam membantu mencari invers matriks.

Mencari Nilai Minor

1. Memahami Nilai Minor

Mencari nilai minor suatu matriks yakni mencari nilai determinannya dengan cara menghilangkan elemen – elemen pada baris ke-𝑖 dan elemen-elemen pada kolom ke-𝑗.

Simbol yang dipakai dalam menyatakan nilai minor suatu matriks yakni M_ij , dimana i menyatakan baris dan j menyatakan kolom.

Seperti yang disebutkan di atas, mencari nilai minor berarti mencari nilai determinan, sehingga hanya pada matriks persegi kita sanggup mencari nilai minor. Misalnya kita sanggup mencari nilai minor pada matriks ordo 2x2, matriks ordo 3x3 dan matriks persegi lainnya.

Bagi anda yang belum memahami apa itu matriks persegi, sanggup mengunjungi tutorial : Memahami Jenis-Jenis Matriks.

2. Mencari Nilai Minor Pada Matriks Persegi 2x2

Misalkan kita mempunyai matriks persegi berukuran 2x2 ibarat di bawah ini :

A =  

a b c d

Maka cara memilih nilai minor untuk matriks yakni sebagai berikut :

• Nilai minor matriks untuk baris pertama dan kolom pertama :
  
  M₁₁ =  

  a b c d

     ⇒ M₁₁= [d] = d


• Nilai minor matriks untuk baris pertama dan kolom kedua :
  
  M₁₂ =  

  a b c d

     ⇒ M₁₂= [c] = c


• Nilai minor matriks untuk baris kedua dan kolom pertama:
  
  M₂₁ =  

  a b c d

     ⇒ M₂₁ = [b] = b


• Nilai minor matriks untuk baris kedua dan kolom kedua:
  
  M₂₂ =  

  a b c d

     ⇒ M₂₂ = [a] = a

Dengan demikian komponen minor dari Matriks A yakni :

A =  

d c b a

2.1 Contoh Nilai Minor Pada Matriks Persegi 2x2

---

Carilah nilai minor dari matriks A di bawah ini :

A =  

2 3 4 5

Pembahasan

• Nilai minor matriks untuk baris pertama dan kolom pertama :
  
  M₁₁ =  

  2 3 4 5

     ⇒ M₁₁= [5] = 5


• Nilai minor matriks untuk baris pertama dan kolom kedua :
  
  M₁₂ =  

  2 3 4 5

     ⇒ M₁₂= [4] = 4


• Nilai minor matriks untuk baris kedua dan kolom pertama:
  
  M₂₁ =  

  2 3 4 5

     ⇒ M₂₁ = [3] = 3


• Nilai minor matriks untuk baris kedua dan kolom kedua:
  
  M₂₂ =  

  2 3 4 5

     ⇒ M₂₂ = [2] = 2

Dengan demikian komponen minor dari Matriks A yakni :

A =  

5 4 3 2

3.Mencari Nilai Minor Pada Matriks Persegi 3x3

Misalkan kita mempunyai matriks persegi berukuran 3x3 ibarat di bawah ini :

A =  

a b c d e f g h i

Maka cara memilih nilai minor untuk matriks yakni sebagai berikut :

• Nilai minor matriks untuk baris pertama dan kolom pertama :
  
  M₁₁ =  

  a b c d e f g h i

  
  
  M₁₁ =  

  e f h i

     = (e.i) - (h.f)


• Nilai minor matriks untuk baris pertama dan kolom kedua :
  
  M₁₂ =  

  a b c d e f g h i

  
  
  M₁₂ =  

  d g f i

     = (d.i) - (f.g)
  
  
• Nilai minor matriks untuk baris pertama dan kolom ketiga :
  
  M₁₃ =  

  a b c d e f g h i

  
  
  M₁₃ =  

  d e g h

     = (d.h) - (g.e)


• Nilai minor matriks untuk baris kedua dan kolom pertama:
  
  M₂₁ =  

  a b c d e f g h i

  
  
  M₂₁ =  

  b c h i

     = (b.i) - (h.c)


• Nilai minor matriks untuk baris kedua dan kolom kedua :
  
  M₂₂ =  

  a b c d e f g h i

  
  
  M₂₂ =  

  a c g i

     = (a.i) - (g.c)


• Nilai minor matriks untuk baris kedua dan kolom ketiga :
  
  M₂₃ =  

  a b c d e f g h i

  
  
  M₂₃ =  

  a b g h

     = (a.h) - (g.b)
  
  


• Nilai minor matriks untuk baris ketiga dan kolom pertama:
  
  M₃₁ =  

  a b c d e f g h i

  
  
  M₃₁ =  

  b c e f

     = (b.f) - (e.c)


• Nilai minor matriks untuk baris ketiga dan kolom kedua:
  
  M₃₂ =  

  a b c d e f g h i

  
  
  M₃₂ =  

  a c d f

     = (a.f) - (d.c)


• Nilai minor matriks untuk baris ketiga dan kolom ketiga :
  
  M₃₃ =  

  a b c d e f g h i

  
  
  M₃₃ =  

  a b d e

     = (a.e) - (d.b)

3.1 Contoh Nilai Minor Pada Matriks Persegi 3x3

---

Carilah nilai minor dari matriks A di bawah ini :

A =  

5 7 1 -4 1 0 2 0 3

Nilai minor untuk matriks di atas yakni sebagai berikut :

• Nilai minor matriks untuk baris pertama dan kolom pertama :
  
  M₁₁ =  

  5 7 1 -4 1 0 2 0 3

  
  
  M₁₁ =  

  1 0 0 3

     = (1.3) - (0.0) = 3


• Nilai minor matriks untuk baris pertama dan kolom kedua :
  
  M₁₂ =  

  5 7 1 -4 1 0 2 0 3

  
  
  M₁₂ =  

  -4 0 2 3

     = (-4.3) - (0.2) = -12
  
  
• Nilai minor matriks untuk baris pertama dan kolom ketiga :
  
  M₁₃ =  

  5 7 1 -4 1 0 2 0 3

  
  
  M₁₃ =  

  -4 1 2 0

     = (-4.0) - (1.2) = -2


• Nilai minor matriks untuk baris kedua dan kolom pertama:
  
  M₂₁ =  

  5 7 1 -4 1 0 2 0 3

  
  
  M₂₁ =  

  7 1 0 3

     = (7.3) - (1.0) = 21


• Nilai minor matriks untuk baris kedua dan kolom kedua :
  
  M₂₂ =  

  5 7 1 -4 1 0 2 0 3

  
  
  M₂₂ =  

  5 1 2 3

     = (5.3) - (1.2) = 13


• Nilai minor matriks untuk baris kedua dan kolom ketiga :
  
  M₂₃ =  

  5 7 1 -4 1 0 2 0 3

  
  
  M₂₃ =  

  5 7 2 0

     = (5.0) - (7.2) = -14
  
  


• Nilai minor matriks untuk baris ketiga dan kolom pertama:
  
  M₃₁ =  

  5 7 1 -4 1 0 2 0 3

  
  
  M₃₁ =  

  7 1c 1 0

     = (7.0) - (1.1) = -1


• Nilai minor matriks untuk baris ketiga dan kolom kedua:
  
  M₃₂ =  

  5 7 1 -4 1 0 2 0 3

  
  
  M₃₂ =  

  5 1 -4 0

     = (5.0) - (-4.1) = 4


• Nilai minor matriks untuk baris ketiga dan kolom ketiga :
  
  M₃₃ =  

  5 7 1 -4 1 0 2 0 3

  
  
  M₃₃ =  

  5 7 -4 1

     = (5.1) - (-4.7) = 33

Sehingga komponen minor untuk matriks A diatas yakni :

A =  

3 -12 -2 21 13 -14 -1 4 33

Mencari Nilai Kofaktor

Maksud dari nilai kofaktor yakni nilai yang mengandung nilai positif (+) atau nilai minus (-) pada masing-masing nilai minor.

Dengan demikian, sehabis didapatkan nilai minor pada masing-masing elemen matriks gres sanggup kita lanjutkan dengan mencari nilai kofaktor dengan menunjukkan nilai positif atau negatif. Terdapat dua cara dalam memilih nilai kofator.

1. Cara Pertama

Dibawah ini yakni fatwa kita dalam menunjukkan nilai kofaktor untruk matriks ukuran nxn :

+ - + .. - + - .. + - + .. .. .. .. ..

Dari poin 3.1 di atas, kita telah dapatkan nilai minor, maka nilai kofaktornya yakni sebagai berikut :

• K_(1,1)=+3 = 3
• K_(1,2)=-(-12)= 12
• K_(1,3)=+(-2)= -2
• K_(2,1)=-21= -21
• K_(2,2)=+13= 13
• K_(2,3)=-(-14)= 14
• K_(3,1)=+(-1)= -1
• K_(3,2)=-(4)= -4
• K_(3,3)=+(33)= 33

Sehingga kita dapatkan matriks kofaktornya sebagai berikut :

K_A =  

5 7 1 -4 1 0 2 0 3

2. Cara Kedua

Kita memakai rumus menurut baris dan kolom untuk mencari kofaktor dengan rumus :
K_(i,j) = (-1)^i+j.M_(i,j)

Dari poin 3.1 di atas, kita sanggup dapatkan nilai kofaktor dari masing-masing nilai minor di atas sebagai berikut :

• K_(1,1) = (-1)¹⁺¹ . 3 = 3
• K_(1,2) = (-1)¹⁺² . -12 = 12
• K_(1,3) = (-1)¹⁺³ . -2 = -2
• K_(2,1) = (-1)²⁺¹ . 21= -21
• K_(2,2) = (-1)²⁺² . 13 = 13
• K_(2,3) = (-1)²⁺³ . -14 = 14
• K_(3,1) = (-1)³⁺¹ . -1 = -1
• K_(3,2) = (-1)³⁺² . 4 = -4
• K_(3,3) = (-1)³⁺³ . 33 = 33

Sehingga di dapatkan matriks kofaktornya sama ibarat cara pertama, yaitu :

K_A =  

5 7 1 -4 1 0 2 0 3

Mencari Adjoin Matriks

Adjoin suatu matriks didapatkan dengan cara melaksanakan proses transpose dari matriks kofaktor yang didapatkan. Proses transpose matriks sanggup anda baca pada tutorial : Contoh Soal Transpose Matriks Beserta Pembahasannya

Misal kita mempunyai matriks A, maka simbol untuk membuktikan Adjoin suatu matrik dilambangkan dengan : Adj_(A).

Dari klarifikasi di atas, kita telah dapatkan kofaktor matriks A sebagai berikut :

C_A =  

5 7 1 -4 1 0 2 0 3

Dengan melaksanakan proses transpose (melakukan pertukaran elemen dari baris menjadi kolom begitu juga sebaliknya) akan di dapatkan adjoin matriks sebagai berikut :

Adj_A =  

3 -21 -1 12 13 -4 -2 -14 33

Tutorial Materi Matriks lainnya :

• Pengertian Matriks, Ordo dan Jenis-Jenis Matriks
• Rumus Determinan dan Contoh Soal Determinan Matriks
• Contoh Soal Transpose Matriks Beserta Pembahasannya
• Contoh Soal Determinan Matriks Ordo 2x2 Beserta Pembahasannya
• Contoh Soal Determinan Matriks Ordo 3 Beserta Pembahasannya

Sumber http://www.kontensekolah.com/

Share this post

Berlangganan update artikel terbaru via email: