√ Rangkuman, Teladan Soal Pembahasan Lingkaran

style="display:block"
data-ad-client="ca-pub-7930840207405626"
data-ad-slot="5411244982"
data-ad-format="link"
data-full-width-responsive="true">

Rangkuman Lingkaran

Persamaaan lingkaran

Pengertian bulat yaitu tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama atau tetap terhadap titik tertentu. Yang dimaksud titik tertentu yaitu sentra bulat sedangkan jarak yang tetap yaitu jari-jari lingkaran. Beberapa persamaan lingkaran:

Sehingga, untuk memilih  persamaan lingkaran, langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Menentukan sentra dan jari—jarinya


2. Menentukan persamaan bulat yang sesuai
   
   (x-a)² + (y – b)²  = r² atau x² + y² = r²

Persamaan Jarak pada Lingkaran

1. Jarak titik (x₁ , y₁) ke titik (x₂ , y₂)
   
   

2. Jarak titik (x₁ , y₁) ke garis Ax + By + C = 0
   
   

style="display:block; text-align:center;"
data-ad-layout="in-article"
data-ad-format="fluid"
data-ad-client="ca-pub-7930840207405626"
data-ad-slot="8126346735">

Persamaan Garis Singgung

Garis yang memotong bulat di satu titik disebut garis singgung. Ada tiga hal yang menentukan, yaitu:

1. Apabila diketahui titik pada lingkaran
   
   Terdapat titik (x₁ , y₁) pada lingkaran, maka persamaan harus diubah sebagai berikut:
   
   
   
   Persamaannya menjadi:
   
   

2. Apabila diketahui titik di luar lingkaran
   
   
   
   1. Tentukan persamaan garis kutub (polar) dari titik A(x₁, y₁) terhadap lingkaran.
   
   
   2. Melalui titik potong antara garis kutub
   
   
   3. Tentukan persamaan garis singgung melalui titik potong garis kutub (polar) dan
   
   
   
   

3. Diketahui Gradien
   
   Apabila diketahui titik () dengan gradien m pada lingkaran.
   
   

Kedudukan Dua Lingkaran

Apabila jarak antara pusat-pusat bulat kita sebut d, untuk r₁ dan r₂ merupakan jari-jari pada masing-masing kedua lingkaran, maka kedua bulat akan:

1. Saling lepas, sehingga d ˃ r₁ + r₂


2. Saling bersinggungan di dalam lingkaran, sehingga d = |r₁ – r₂|


3. Saling bersinggungan di luar lingkaran, sehingga d = r₁ + r₂


4. Saling berpotongan, sehingga |r₁ – r₂| < d <  r₁ + r₂


5. Lingkaran di dalam lingkaran, sehingga d = ˂ r₁ – r₂

DOWNLOAD RANGKUMAN & CONTOH SOAL LINGKARAN DALAM BENTUK PDF KLIK DISINI

style="display:block; text-align:center;"
data-ad-layout="in-article"
data-ad-format="fluid"
data-ad-client="ca-pub-7930840207405626"
data-ad-slot="8126346735">

CONTOH SOAL & PEMBAHASAN

Soal No.1 (Matematika IPA SPMB 2005)

Jika a < 0 dan bulat x² + y² – ax + 2ay + 1 = 0 memiliki jari-jari 2, maka koordinat sentra bulat tersebut yaitu …

1. 


2. 


3. (1,-2)


4. (-1,2)


5. (-1,-2)

PEMBAHASAN :



Jawaban : D

Soal No.2 (UN 2002)

Titik (a,b) yaitu sentra bulat x² + y² – 2x + 4y + 1 = 0. Makara 2a + b = …

1. 0


2. 2


3. 3


4. -1


5. -2

PEMBAHASAN :

Diketahui: A = -2, B = 4

Dari persamaan x² + y² – 2x + 4y + 1 = 0

Diperoleh:

a = -½A = -½ (-2) = 1

b = -½B = -½ (4) = -2

Sehingga, 2a + b = 2(1) + (-2) = 0

Jawaban : A

Soal No.3 (Matematika IPA SNMPTN 2012)

Lingkaran (x + 6)² + (y + 1)² = 25 menyinggung garis y = 4 di titik …

1. (-6,4)


2. (6,4)


3. (-1,4)


4. (1,4)


5. (5,4)

PEMBAHASAN :

Diketahui:

y = 4

Untuk mencari x:

(x + 6)² + (y + 1)² = 25

(x + 6)² + (4 + 1)² = 25

(x +6)² + 25 = 25

(x + 6)² = 0

x = -6

Sehingga bulat menyinggung garis y = 4 di titik (-6,4)

Jawaban : A

Soal No.4 (UN 1998)

Diketahui bulat x² + y² – 4x + 2y + C = 0  melalui titik A(5,-1). Jari-jari bulat tersebut sama dengan …

1. √7


2. 3


3. 4


4. 2√6


5. 9

PEMBAHASAN :

Diketahui titik A(5,-1) melalui persamaan:

x² + y² – 4x + 2y + C = 0

x = 5, y = -1

5² + (-1)² – 4(5) + 2(-1)  + C = 0

25 + 1 – 20 – 2 + C = 0

C = – 4

Maka persamaannya menjadi  x² + y² – 4x + 2y – 4 = 0

A = 4, B = 2, C = – 4



Jawaban : B

Soal No.5 (Saintek SBMPTN 2013)

Persamaan bulat dengan sentra (-1,1) dan menyinggung garis 3x – 4y + 12 = 0 yaitu …

1. x² + y² + 2x – 2y + 1 = 0


2. x² + y² + 2x – 2y – 7 = 0


3. 4x² + 4y² + 8x – 8y – 17 = 0


4. x² + y² + 2x – 2y – 2 = 0


5. 4x² + 4y² + 8x – 8y – 1 = 0

PEMBAHASAN :

Diketahui: A = 3, B = – 4, x₁ = – 1, y₁ = 1, C= 12

Jarak titik (-1, 1) ke garis 3x – 4y + 12 = 0:



Maka persamaan bulat dengan sentra (a,b) → P (-1, 1) dan jari-jari 1 (d = r):

(x – a)² + (y –b)² = r²

(x – (–1))² + (y – 1)² = 1²

(x+1)² + (y –1)² = 1

x² + y² + 2x – 2y + 1 = 0

Jawaban : A

style="display:block; text-align:center;"
data-ad-layout="in-article"
data-ad-format="fluid"
data-ad-client="ca-pub-7930840207405626"
data-ad-slot="8126346735">

Soal No.6 (Matematika IPA UM UGM 2010)

Syarat semoga garis ɑx + y = 0 menyinggung bulat dengan sentra (-1,3) dan jari-jari 1 yaitu a = …

1. 3/2


2. 4/3


3. 3/4


4. 2/3


5. 1/4

PEMBAHASAN :

Diketahui: P (-1,3), r = 1, A = a, B = 1



Jawaban : B

Soal No.7 (UN 2013)

Persamaan bulat yang berpusat di titik  (-1,3) dan berdiameter √40 yaitu …

1. x² + y² – 6x – 2y = 0


2. x² + y² + 2x – 6y = 0


3. x² + y² – 2x – 2y = 0


4. x² + y² + 2x – 6y = 0


5. x² + y² – 2x – 6y = 0

PEMBAHASAN :

Diketahui:

a = -1, b = 3, d = √40

r = ½ d = ½ √40

Sehingga persamaan lingkarannya :

(x – a)² + (y – b)² = r²

(x – (-1))² + (y – 3)² = (½ √40)²   

x² + 2x + 1 + y² – 6y + 9 = 10

x² + y² + 2x – 6y = 0

Jawaban : E

Soal No.8 (Matematika IPA SPMB 2002)

Lingkaran yang sepusat dengan bulat x² + y² – 4x + 6y – 17 = 0 dan menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0 memiliki persamaan …

1. (x – 2)² + (y + 3)² = 25


2. (x – 2)² + (y + 3)² = 16


3. (x + 2)² + (y – 3)² = 25


4. (x + 2)² + (y – 3)² = 16


5. (x – 4)² + (y + 6)² = 25

PEMBAHASAN :

Dari persamaan x² + y² – 4x + 6y – 17 = 0 diketahui A = – 4, B = 6

Koordinat sentra bulat P(- ½A ,-½ B) → P(2,-3)

r = jarak sentra bulat ke garis 3x – 4y + 7 = 0



Maka persamaan bulat yang pusatnya di titik (2,-3) dengan r = 5 adalah

(x – a)² + (y – b)² = r²

(x – 2)² + (y – (- 3))²  = 5²

(x – 2)² + (y + 3)² = 25

Jawaban : A

Soal No.9 (EBTANAS 1993)

Lingkaran yang persamaannya x² + y² – Ax – 10y + 4 = 0 Menyinggung  sumbu x. nilai A yang memenuhi yaitu …

1. -8 dan 8


2. -6 dan 6


3. -5 dan 5


4. -4 dan 4


5. -2 dan 2

PEMBAHASAN :

Persamaan lingkarannya:

x² + y² – Ax – 10y + 4 = 0

Dengan sentra P(- ½A ,-½ B) → P(½A, 5)

Diketahui menyinggung sumbu x maka r = 5



Jawaban : D

Soal No.10 (Matematika IPA SPMB 2003)

Jika bulat x² + y² – 4x – 6y + c = 0 yang berpusat di titik  (2,3) menyinggung garis y = 1 – x, maka nilai c = …

1. 0


2. 4


3. 5


4. 9


5. 13

PEMBAHASAN :

Diketahui: P(2,3), x + y – 1 = 0

x² + y² – 4x – 6y + c = 0



Jawaban : C

Soal No.11 (UMPTN 2001)

Persamaan bulat yang berpusat di (1,4) dan menyinggung garis 3x – 4y – 2 = 0 yaitu …

1. x² + y² + 3x – 4y – 2 = 0


2. x² + y² + 4x – 6y – 3 = 0


3. x² + y² + 2x + 8y – 8 = 0


4. x² + y² + 2x – 8y + 8 = 0


5. x² + y² + 2x + 8y – 16 = 0

PEMBAHASAN :

Diketahui:

Jari-jari yaitu jarak sentra bulat titik  (x₁ , y₁) (1,4) ke garis 3x – 4y – 2 = 0



Sehingga persamaan lingkarannya:

(x – 1)² + (y – 4)² = 3²

x² + y² – 2x – 8y + 8 = 0

Jawaban : D

Soal No.12 (Matematika IPA SNMPTN 2009)

Luas tempat yang diarsir pada bulat besar yaitu 4 kali luas tempat bulat kecil.

Jika jari-jari bulat besar yaitu , maka keliling bulat kecil yaitu …

1. 


2. 


3. 


4. 


5. 

PEMBAHASAN :



Jawaban : B

Soal No.13 (UN 2006)

Persamaan bulat yang pusatnya terletak pada garis x – y – 2 = 0 serta menyinggung sumbu x konkret dan sumbu y negatif yaitu …

1. x² + y² – x + y – 1 = 0


2. x² + y² – x – y – 1 = 0


3. x² + y² + 2x – 2y – 1 = 0


4. x² + y² – 2x + 2y – 1 = 0


5. x² + y² – 2x + 2y + 1 = 0

PEMBAHASAN :

Kita ilustrasikan dengan gambar di bawah ini:



Diketahui: Pusat bulat berada pada x – y – 2 = 0, misalkan P(a,a – 2)

r = BC = AB



a² + 0 = 0 + a² – 4a + 4

4a = 4

a = 1

Sehingga dengan P(a,a – 2) ® P(1,-1) dan r = 1 persamaan lingkarannya:

(x – 1)² + (y + 1)² = 1²

x² + y² – 2x + 2y + 1 = 0

Jawaban :E

Soal No.14 (Matematika IPA SPMB 2002)

Lingkaran L₁ ≡ x² + y² – 10x + 2y + 17 = 0 dan L₂ ≡ x² + y² + 8x – 22y – 7 = 0 …

1. tidak berpotongan


2. bersinggungan dalam


3. bersinggungan luar


4. berpotongan di dua titik


5. mempunyai jari-jari sama

PEMBAHASAN :



Jawaban : A

Soal No.15 (UN 2007)

Persamaan garis singgung bulat x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0 di titik (7,-5) yaitu …

1. 4x – 3y = 43


2. 4x + 3y = 23


3. 3x – 4y = 41


4. 10x + 3y = 55


5. 4x – 5y = 53

PEMBAHASAN :

Diketahui:

x₁ = 7, y₁ = -5

A = 6,  B = 4

Persamaan untuk garis singgung:

x² + y² + Ax + By + C = 0

x₁x + y₁y + A/2(x + x₁) + B/2 (y + y₁) + C = 0

7x – 5y – 3 (x + 7) + 2(y – 5) – 12 = 0

7x – 5y – 3x – 21 + 2y – 10 – 12 = 0

4x – 3y = 43

Jawaban : A

Soal No.16 (Matematika IPA SNMPTN 2012)

Lingkaran (x – 3)² + (y – 4)² = 25 memotong sumbu x di titik A dan B. Jika P yaitu titik sentra bulat tersebut, maka cos ∠APB = …

1. 7/25


2. 8/25


3. 12/25


4. 16/25


5. 18/25

PEMBAHASAN :

Diketahui:

(x – 3)² + (y – 4)² = 25

P(3,4)

r = 5

Memotong sumbu x di titik A dan B → y = 0

(x – 3)² + (y – 4)² = 25

(x – 3)² + (0 – 4)² = 25

(x – 3)² = 9

(x – 3)² = (±3)²

x = 6 , x = 0



Jawaban : A

Soal No.17 (UN 2012)

Lingkaran  L = (x + 1)² + (y – 3)² = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung bulat yang melalui titik potong antara bulat dan garis tersebut yaitu …

1. x = 2 dan x = -4


2. x = 2 dan x = -2


3. x = -2 dan x = 4


4. x = -1 dan x = -4


5. x = 8 dan x = -10

PEMBAHASAN :

1. Diketahui garis y = 3
   
   (x + 1)² + (y – 3)² = 9
   
   (x + 1)² + (3-3)² = 9
   
   (x + 1)² = 9
   
   x + 1 = ± 3
   
   x = 2 dan x = -4
   
   Sehingga titik potong yang diperoleh (2,3) dan (-4,3)


2. Garis singgung bulat di titik (2,3)
   
   (x + 1)(2 + 1) + (y – 3)(3 – 3) = 9
   
   3x + 3 = 9
   
   x = 2


3. Garis singgung bulat di titik (-4,3)
   
   (x + 1)(-4 + 1) + (y – 3)(3 – 3) = 9
   
   -3x – 3 = 9
   
   x = -4

Jawaban : A

Soal No.18 (Matematika IPA SPMB 2001)

Persamaan garis yang sejajar dengan x – 2y = 10 dan membagi bulat x² + y² + 4x + 3 = 0 atas dua bab yang sama yaitu …

1. y = ½ x+1


2. y = ½ x-1


3. y = ½ x+2


4. y = ½ x-2


5. y = ½ x

PEMBAHASAN :

Persamaan lingkaran

x² + y² + 4x + 3 = 0

(x+2)² + y² = -3 + 4

(x+2)² + y² = 1

Diketahui: P (-2,0), r = 1

Menentukan gradien:

x – 2y = 10 → y = ½ x – 5 →m = ½

Maka persamaan garis yang sejajar dengan x – 2y = 10 dan melalui (-2,0) yaitu …

y – 0 = ½ (x+2)

y = ½ x+1

Jawaban : A

Soal No.19 (UN 2007)

Persamaan garis singgung pada bulat x² + y² – 2x + 2y – 2 = 0 yang bergradien 10 yaitu …

1. y = 10x – 10 ± 2 √101


2. y = 10x – 11 ± 2 √101


3. y = -10x + 10 ± 2 √101


4. y = -10x ± 2 √101


5. y = 10x ± 2 √101

PEMBAHASAN :

Persamaan garis singgung x² + y² – 2x + 2y – 2 = 0

Diketahui: Pusat (a,b) → P(1,-1), m = 10



Jawaban : B

Soal No.20 (Matematika IPA SPMB 2004)

Persamaan bulat dengan titik sentra berada pada parabola y = x² dan menyinggung sumbu x yaitu …

1. x² + y² – 2ax – 2a² y + a² = 0


2. x² + y² – 2ax – 2a² y – a² = 0


3. x² + y² – 2ax – 2a² y + a⁴ = 0


4. x² + y² – 2ax – 2a² y – a⁴ = 0


5. x² + y² – 2ax – 2a² y + a² + a⁴ = 0

PEMBAHASAN :

Diketahui: y = x² menyinggung sumbu x

Kita asumsikan sentra bulat di x = a → y = a², sedangkan bulat menyinggung sumbu x → r = y = a²

(x – a) + (y – b)² = r²

(x – a)² + (y – a²)² = (a²)²

x² + y² – 2ax – 2a² y + a² + a⁴ = a⁴

x² + y² – 2ax – 2a² y + a² = 0

Jawaban : A

Soal No.21 (UMPTN 2001)

Persamaan garis singgung pada bulat  2x² + 2y² – 4x + 8y – 8 = 0 yang sejajar dengan garis 5x + 12y – 15 = 0 yaitu …

1. 5x + 2y – 20 = 0 atau 5x + 12y + 58 = 0


2. 5x + 2y – 20 = 0 atau 5x + 12y + 20 = 0


3. 12x + 5y – 20 = 0 atau 12x + 5y + 20 = 0


4. 12x + 5y = – 20  atau 5x + 12y = 58


5. 5x + 12y = – 20 atau 5x + 12y = 58

PEMBAHASAN :

Diketahui  persamaan Lingkaran:

2x² + 2y² – 4x + 8y – 8 = 0, disederhanakan menjadi x² + y² – 2x + 4y – 4 = 0 dengan P (1, 2), A = -2, B =4

Sehingga persamaan garis singgung lingkaran:

1. 12y + 24 = – 5x + 5 + 39 → 5x + 12y – 20 = 0


2. 12y + 24 = – 5x + 5 – 39 → 5x + 12y + 58 = 0

Jawaban : A

Soal No.22 (Matematika IPA SPMB 2005)

Lingkaran L menyinggung sumbu x, menyinggung bulat x² + y² = 4 dan melalui titik B(4,6). Persamaan L sanggup ditulis sebagai …

1. (x – 4)² + (y + 6)² = 144


2. (x – 3)² + (y – 4)² = 5


3. x² + y² – 8x – 6y + 16 = 0


4. x² + y² – 24x + 44 = 0


5. x² + y² – 8x + 6y + 56 = 0

PEMBAHASAN :



Berdasarkan gambaran gambar: (OP)² = a² + b²

Persamaan (1)

(2 + b)² = a² + b²

b² + 4b + 4 = a² + b²

4b = a² – 4

Persamaan (2)

(x – a)² + (y – b)² = b² melalui titik (x,y) ® (4,6)

(4 – a)² + (6 – b)² = b²

(4 – a)² + 36 – 12b = 0

Substitusikan persamaan (1) ke (2)

(4 – a)² + 36 – 3(4b) = 0

a² – 8a + 16 + 36 – 3(a² – 4) = 0

a² – 8a + 16 + 36 – 3a² + 12 = 0

2 a² + 8a – 64 = a² + 4a – 32 = 0

(a – 4) (a + 8) = 0

a = 4 → a = -8

Untuk a = 4 → b = 3

4b = a² – 4

4b = 4² – 4

4b = 12

b = 3

Sehingga persamaan Lingkarannya adalah:

P(a,b) → (4,3), sedangkan r = b = 3

(x – 4)² + (y – 3)² = 3²

x² + y² – 8x – 6y + 16 = 0

Jawaban : C

Soal No.23 (UN 2004)

Persamaan garis singgung bulat (x – 4)² + (y + 3)² = 40 yang tegak lurus garis x + 3y + 5 = 0 yaitu …

A. y = 3x + 1 dan y = 3x – 30

B. y = 3x + 2 dan y = 3x – 32

C. y = 3x – 2 dan y = 3x + 32

D. y = 3x + 5 dan y = 3x – 35

E. y = 3x – 5 dan y = 3x + 35

PEMBAHASAN :



Jawaban : D

Soal No.24 (Matematika IPA UM UGM 2013)

Titik sentra bulat yang menyinggung garis y = 2 di (3,2) dan menyinggung garis y = -x√3 + 2  adalah …

1. (3,√3)


2. (3,3√3)


3. (3,2 +√3)


4. (3,2 + 2√3)


5. (3,2 + 3√3)

PEMBAHASAN :



Jawaban : E

Soal No.25 (UN 2000)

Garis singgung bulat x²  +  y² = 25 di titik (-3 ,4) menyinggung bulat dengan pusat  (10,5) dan jari-jari r. Nilai r = …

1. 3


2. 5


3. 7


4. 9


5. 11

PEMBAHASAN :

Diketahui persamaan garis singgung  x² + y²  = 25 di titik (-3 ,4)

x₁ x  +  y₁ y = r²

-3x + 4y = 25 → -3x + 4y – 25 = 0

Jarak titik P(10, 5) ke garis -3x + 4y – 25 = 0

x₁ = 10, y₁ = 5, C = -25, A = -3, B = 4



Jawaban : C

Soal No.26 (Matematika IPA SPMB 2005)

Diketahui suatu bulat dengan titik sentra berada pada kurva dan melalui titik asal O(0,0). Jika absis titik sentra bulat tersebut yaitu a maka persamaan garis singgung bulat melalui O yaitu …

1. y = -x


2. y = – x√a


3. y = – ax


4. y = -2x√2


5. y = -2ax

PEMBAHASAN :



Jawaban : B

Soal No.27 (UN 2003)

Salah satu garis singgung bulat yang bersudut 120° terhadap sumbu x konkret pada bulat dengan ujung diameter titik (7,6) dan (1,-2) yaitu …

1. y = -x√3  +  4√3 + 12


2. y = -x√3 – 4√3 + 8


3. y = -x√3 + 4√3 – 4


4. y = -x√3 – 4√3 – 8


5. y  = -x√3  + 4√3 + 22

PEMBAHASAN :



Jawaban : A

Soal No.28 (SAINTEK SNMPTN 2014)

Misalkan diberikan titik A(1,0) dan B(0,1). Jika P bersifat |PA| : |PB| = √m : √n maka P terletak pada bulat dengan persamaan …

1. (n – m)(x² + y² – 1) = 2(nx – my)


2. (n – m)(x² + y² – 1) = 2(nx + my)


3. (n + m)(x² + y² – 1) = (nx – my)


4. (n + m)(x² + y² – 1) = (mx – ny)


5. (n – m)(x² + y² – 1) = 2(nx – my)

PEMBAHASAN :

Diketahui: A(1,0) dan B(0,1)



((x – 1)² + y²)(x² + (y – 1)² ) = m : n

m(x² + (y – 1)²) = n ((x – 1)² + y²)

m(x² + y²–2y + 1) = n(x² – 2x +1+ y²)

mx² + my² – 2my + m = nx² – 2nx +n + ny²

2(nx – my) = (n – m)(x² + y² + 1)

Jawaban : E

Soal No.29 (EBTANAS 2001)

Salah satu persamaan garis singgung bulat dari titik (0,0) pada bulat (x – 3)² + (y – 4)² = 5 yaitu …

1. x – y = 0


2. 11x + y = 0


3. 2x + 11y = 0


4. 11x – y = 0


5. 11x – 2y = 0

PEMBAHASAN :

Pada titik (0,0), persamaan garis polar:

(x – a)² + (y – b)² = r² → (x – a)(x₁ – a) + (y – b)(y₁ – b) = r²

Untuk mencari y:

(x – 3)² + (y – 4)² = 5

(x – 3)(0 – 3)+(y – 4)(0 – 4) = 5

(x – 3)( – 3)+(y – 4)( – 4) = 5

– 3x +9 – 4y +16 = 5

3x+ 4y –20 = 0

Jawaban : E

DOWNLOAD RANGKUMAN & CONTOH SOAL LINGKARAN DALAM BENTUK PDF KLIK DISINI

style="display:block"
data-ad-client="ca-pub-7930840207405626"
data-ad-slot="5411244982"
data-ad-format="link"
data-full-width-responsive="true">

Sumber aciknadzirah.blogspot.com

Share this post

Berlangganan update artikel terbaru via email: