Kesamaan Pada Suku Banyak
Misalkan terdapat dua suku banyak yaitu suku banyak $f(x)$ dan $g(x)$. Suku banyak $f(x)$ dan $g(x)$ dikatakan sama kalau kedua suku banyak tersebut memiliki nilai yang sama untuk variabel $x$ pada bilangan real. Kesamaan dua suku banyak $f(x)$ dan $g(x)$ ditulis $\begin{align*} f(x)\equiv g(x) \end{align*}$ .
Perhatiakan dua suku banyak $f(x)$ dan $g(x)$ dalam bentuk umum sebagai berikut.
$\begin{align*} f(x)&=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{1}x+a_{0}\\ g(x)&=b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+...+b_{1}x+b_{0}\\ \end{align*}$
Jika $f(x)$ dan $g(x)$ memiliki nilai yang sama untuk $(n+1)$ nilai $x$ yang berbeda, maka berlaku hubungan:
$\begin{align*} a_{n}=b_{n},\;a_{n-1}=b_{n-1},...\;a_{1}=b_{1},\;a_{0}=b_{0} \end{align*}$
Soal 1
Tentukan nilai $a$ dari kesamaan $x^{2}-3x + 14≡(x - 1)(x - 2) + 3a$
Pembahasan
$\begin{align*}x^{2}-3x+14&≡(x-1)(x-2)+3a\\&≡x^{2}-3x+2+3a\\&≡x^{2}-3x+(2+3a)\end{align*}$
Perhatikan, $(2+3a)$ yakni konstanta suku banyak di ruas kanan dan konstanta di ruas kiri adalah $14$,maka dengan ketentuaan kesamaan nilai $a$ ditentukan sebagai betikut.
$\begin{align*}14&=2+3a\\3a&=12\\a&=4\end{align*}$
Pembahasan
$\begin{align*}x^{2}-3x+14&≡(x-1)(x-2)+3a\\&≡x^{2}-3x+2+3a\\&≡x^{2}-3x+(2+3a)\end{align*}$
Perhatikan, $(2+3a)$ yakni konstanta suku banyak di ruas kanan dan konstanta di ruas kiri adalah $14$,maka dengan ketentuaan kesamaan nilai $a$ ditentukan sebagai betikut.
$\begin{align*}14&=2+3a\\3a&=12\\a&=4\end{align*}$
Soal 2
Tentukan nilai $p$ dan $q$ dari kesamaan suku banyak berikut.
Pembahasan
Yang diminta yakni nilai $p$ dan $q$ yang mana keduanya ada di ruas kiri. Perhatikan kesamaan ini,yaitu kesamaan suku banyak dalam bentuk pecahan. Perlu diingat hukum operasi penjumlahan pada pecahan, yaitu: $\begin{align*} \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd} \end{align*}$ .
Dengan demikian:
$\begin{align*} \frac{p}{(x+3)}+\frac{q}{(x-2)}&=\frac{2x}{(x+3)(x-2)}\\\frac{p(x-2)+q(x+3)}{(x-1)(x+2)}&=\frac{2x}{(x+3)(x-2)}\\ p(x-2)+q(x+3)&=2x\\ px-2p+qx+3q&=2x\\ px+qx-2p+3p&=2x\\ (p+q)x-2p+3q&=2x \end{align*}$
$\begin{align*} \frac{p}{(x-1)}+\frac{q}{(x+2)}=\frac{2x}{(x-1)(x+2)} \end{align*}$
Pembahasan
Yang diminta yakni nilai $p$ dan $q$ yang mana keduanya ada di ruas kiri. Perhatikan kesamaan ini,yaitu kesamaan suku banyak dalam bentuk pecahan. Perlu diingat hukum operasi penjumlahan pada pecahan, yaitu: $\begin{align*} \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd} \end{align*}$ .
Dengan demikian:
$\begin{align*} \frac{p}{(x+3)}+\frac{q}{(x-2)}&=\frac{2x}{(x+3)(x-2)}\\\frac{p(x-2)+q(x+3)}{(x-1)(x+2)}&=\frac{2x}{(x+3)(x-2)}\\ p(x-2)+q(x+3)&=2x\\ px-2p+qx+3q&=2x\\ px+qx-2p+3p&=2x\\ (p+q)x-2p+3q&=2x \end{align*}$
Berdasarkan ketentuan dua suku banyak, maka diperoleh:
$\begin{align*} p+q&=2\;\;\;\;\;\;\;...(1)\\ -2p+3q&=0\;\;\;\;\;\;\;...(2) \end{align*}$
Substitusi persamaan $(1)$ ke persamaan $(2) $\begin{align*} p+q &=2\Rightarrow q=2-p \end{align*}$
$\begin{align*} -2p+3q=0&\Leftrightarrow -2p+3(2-p)=0\\ &\Leftrightarrow -2p+6-3p=0\\ &\Leftrightarrow -5p=-6\\ &\Leftrightarrow p=\frac{6}{5}\\ p+q=2&\Leftrightarrow \frac{6}{5}+q=2\\ &\Leftrightarrow q=-\frac{4}{5} \end{align*}$
Jadi, nilai $\begin{align*} p=\frac{6}{5} \end{align*}$ dan $\begin{align*} q=-\frac{4}{5} \end{align*}$
Soal 1
Tentukan nilai $a,b$, dan $c$ dari kesamaan:
$x^{2}-2x+7=(x+3)(ax+b)+c$
Pembahasan
$\begin{align*} x^{2}-2x+7&=(x+3)(ax+b)+c\\ &=ax^{2}+3ax+bx+3b+c\\ &=ax^{2}+(3a+b)x+3b+c \end{align*}$
Dari kesamaan suku banyak diperoleh:
$\begin{align*} a&=1\\ 3a+b&=-2\\ 3b+c&=7 \end{align*}$
$\begin{align*} a=1\Rightarrow 3a+b&=-2\\ 3(1)+b&=-2\\ b&=-5\\ b=-5\Rightarrow 3b+c&=7\\ 3(-5)+c&=7\\ -15+c&=7\\ c&=22 \end{align*}$
Jadi, nilai $a,b$ dan $c$ berturut-turut yakni $1,\;5$ dan 22.
Soal 4
Jika $\begin{align*} \frac{4x^{2}+3x+1}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\equiv \frac{a}{x-1}+\frac{bx+c}{x^{2}+x+1} \end{align*}$, tentukan nilai $a+b+c$.
Pembahasan
$\begin{align*} \textrm{Kiri}&=\frac{a}{x-1}+\frac{bx+c}{x^{2}+x+1}\\ &=\frac{a(x^{2}+x+1)+(bx+c)(x-1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\\ &=\frac{(ax^{2}+ax+a)+(bx^{2}-bx+cx-c)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\\ &=\frac{ax^{2}+bx^{2}+ax-bx+cx+a-c}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\\ &=\frac{(a+b)x^{2}+(a-b+c)x+a-c}{(x-1)(x^{2}+x+1)} \end{align*}$
Pembahasan
$\begin{align*} \textrm{Kiri}&=\frac{a}{x-1}+\frac{bx+c}{x^{2}+x+1}\\ &=\frac{a(x^{2}+x+1)+(bx+c)(x-1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\\ &=\frac{(ax^{2}+ax+a)+(bx^{2}-bx+cx-c)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\\ &=\frac{ax^{2}+bx^{2}+ax-bx+cx+a-c}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\\ &=\frac{(a+b)x^{2}+(a-b+c)x+a-c}{(x-1)(x^{2}+x+1)} \end{align*}$
$\begin{align*} \textrm{Kanan}&\equiv \textrm{Kiri}\\ \frac{4x^{2}+3x+1}{(x-1)(x^{2}+x+1)}&\equiv \frac{(a+b)x^{2}+(a-b+c)x+a-c}{(x-1)(x^{2}+x+1)} \end{align*}$
Dari kententuan pada suku banyak, diperoleh:
$\begin{align*} a+b&=4\;\;\;\;\;...(1)\\ a-b+c&=3\;\;\;\;\;...(2)\\ a-c&=1\;\;\;\;\;...(3) \end{align*}$
Jumlahkan ketiga persamaan:
$\begin{align*} 3a=8&\Rightarrow a=\frac{8}{3}\\ a-c=1&\Rightarrow \frac{8}{3}-c=1\\ &\Rightarrow c=\frac{5}{3}\\ a+b=4&\Rightarrow \frac{8}{3}+b=4\\ b&\Rightarrow b=\frac{4}{3} \end{align*}$
Jadi, $\begin{align*} a+b+c=\frac{8}{3}+\frac{4}{3}+\frac{5}{3}=\frac{17}{3} \end{align*}$
Demikianlah ulasan bahan serta referensi soal perihal kesamaan pada suku banyak. Apabila dalam goresan pena ini ditemukan kesalahan atau pun kekeliruan dalam penulisan, kritik, saaran serta masukan dari para pembaca sangat diharapkan. Silakan ditulis pada kolom komentar.
Terimas kasih. Sumber http://yan-fardian.blogspot.com
0 Response to "Kesamaan Pada Suku Banyak"
Posting Komentar