Turunan Fungsi Trigonometri

By astagadragon Kamis, 29 Juni 2017 Add Comment Edit

Rumus dasar turunan fungsi trigonometri ialah turunan fungsi sinus dan kosinus, yang diperoleh dari konsep limit, yakni sebagai berikut:

Jika y = sin x maka y’ = cos x

Jika y = cos x maka y’ = –sin x

Dari rumus dasar tersebut, diturunkanlah rumus pengembangan, yakni turunan fungsi tangens, cotangens, secan dan cosecan. Proses pengembangan rumus tersebut adalah

Jika y = tan x maka y’ = sec²x

Jika y = cot x maka y’ = – cosec²x

Jika y = sec x maka y’ = sec x . tan x

Jika y = cosec x maka y’ = – cosec x . tan x

Selanjutnya, terdapat rumus pengembangan turunan fungsi trigonometri dengan hukum rantai, yakni sebagai berikut :
Misalkan u(x) ialah fungsi yang terdefinisi pada x bilangan real dan f(u) = sin u, maka untuk y = f [u(x)] diperoleh y’ = f ‘ [u(x)]. u’(x)
y’ = (cos u)(u’)
y’ = u’.cos u
Sehingga dengan cara yang sama sanggup disimpulkan bahwa jikalau u ialah fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, maka diperoleh:

Untuk y = sin u maka y’ = u’.cos u

Untuk y = cos u maka y’ = –u’.sin u

Untuk y = tan u maka y’ = u’. sec²u

Untuk y = cot u maka y’ = u'. cosec²u

Untuk y = sec u maka y’ = u’. sec u . tan u

Untuk y = csc u maka y’ = –u’. cosec u . tan u

Untuk lebih jelasnya ikutilah pola soal berikut ini:

01. Tentukanlah turunan pertama dari setiap fungsi berikut ini :
(a) f(x) = cos (3x – 4)
(b) f(x) = 3.tan (x² – 4)
(c) f(x) = cot (2x + 5) – 5.sec(x² – 4)
(d) f(x) = 4x² – sec(2x² + 3x)
Jawab

(a) f(x) = cos (3x – 4)
Maka
f ’(x) = (3)(–sin(3x – 4))
f ’(x) = –3.sin(3x – 4)

(b) f(x) = 3.tan (x² – 4)
Maka
f ’(x) = (2x)(3)sec² (x² – 4)
f ’(x) = 2x sec² (x² – 4)

(c) f(x) = cot (2x + 5) – 5 . sec(x2 – 4)
Maka
f ’(x) = (2)(5)(2 . sec²x) – (2x)(5.sec(x² – 4).tan(x² – 4))
f ’(x) = 20 . sec²x – 10x.sec(x² – 4).tan(x² – 4)

(d) f(x) = 4x² – sec(2x² + 3x)
Maka f ’(x) = 8x – ((4x + 3) sec(x² + 3x).tan(2x² + 3x))

02. Tentukanlah turunan pertama dari setiap fungsi berikut ini: