Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran
Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran
$(b)$ Titik $P(x_{1},y_{1})$ terletak di dalam bundar $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ jika:
$(c)$ Titik $P(x_{1},y_{1})$ terletak di dalam bundar $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ jika: Supaya lebih jelas, perhatikanlah gambar berikut.
Dalam kasus ini yaitu kedudukan suatu titik terhadap bundar sanggup dibedakan menjadi tiga kondisi,yaitu titik terletak di dalam lingkaran, titik terletak pada lingkaran,dan titik di luar lingkaran.
Kedudukan suatu titik terhadap bundar sanggup dibedakan menurut persamaan lingkaran.
Kedudukan suatu titik terhadap bundar sanggup dibedakan menurut persamaan lingkaran.
a. Kedudukan titik terhadap bundar dengan persamaan $x^{2} + y^{2}=r^{2}$
Misalkan titik $P(x_{1},y_{1})$,maka kedudukan titik $P$ terhadap bundar $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ialah sebagai betikut.
$(a)$ Titik $P(x_{1},y_{1})$ bearada di dalam bundar $x^{2} + y^{2}=r^{2}$ jika:
$(b)$ Titik $P(x_{1},y_{1})$ berada sempurna pada bundar $x^{2} + y^{2}=r^{2}$ jika:
$(c)$ Titik $P(x_{1},y_{1})$ terletak di luar bundar $x^{2} + y^{2}=r^{2}$ jika:
$x_{2}^{2}+y_{1}^{2}<r^{2}$
$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=r^{2}$
$(c)$ Titik $P(x_{1},y_{1})$ terletak di luar bundar $x^{2} + y^{2}=r^{2}$ jika:
$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}>r^{2}$
Letak ketiga titik tersebut menyerupai ditunjukkan oleh gambar berikut.
 |
| Kedudukan titik $P$ terhadap lingakaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ |
b. Kedudukan titik terhadap bundar dengan persamaan $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$
Misalkan titik $P(x_{1},y_{1})$, maka kedudukan titik $P$ terhadap bundar $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ adalah sebagai berikut.
$(a)$ Titik $P(x_{1},y_{1})$ terletak di dalam bundar $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ jika:
$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+Ax_{1}+By_{1}+C<0$
$(b)$ Titik $P(x_{1},y_{1})$ terletak di dalam bundar $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ jika:
$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+Ax_{1}+By_{1}+C=0$
$(c)$ Titik $P(x_{1},y_{1})$ terletak di dalam bundar $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ jika:
$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+Ax_{1}+By_{1}+C>0$
 |
| Kedudukan titik $P$ terhadap lingkara $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ |
Perhatikanlah beberapa teladan soal berikut.
CONTOH SOAL 1
Tentukan kedudukan (posisi) titik-titik berikut terhadap bundar $x^{2}+y^{2}=25$
a. $(3,1)$ b. $(4,-3)$ c. $(-2,-5)$
Jawab
$\begin{align*} \textrm{a}.\;(3,1)\;&\Leftrightarrow \;x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=(3)^{2}+(1)^{2} \\ &\Leftrightarrow x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=10 \end{align*}$
$\begin{align*} \textrm{a}.\;(3,1)\;&\Leftrightarrow \;x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=(3)^{2}+(1)^{2} \\ &\Leftrightarrow x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=10 \end{align*}$
Karena $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}<25$, maka titik $(3,1)$ terletak di dalam bundar $x^{2}+y^{2}=25$.
$\begin{align*} \textrm{b}.\;(4,-3)\;&\Leftrightarrow \; x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=(4)^{2}+(-3)^{2} \\ &\Leftrightarrow x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=25 \end{align*}$
Karena $\begin{align*} x_{1}^{2}+y_{1}^{2}>25 \end{align*}$ , maka titik $(4,-3)$ terletak pada bundar $x^{2}+y^{2}=25$
$\begin{align*} \textrm{C}.\;(-2,-5)\;&\Leftrightarrow \; x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=(-2)^{2}+(-5)^{2} \\ &\Leftrightarrow x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=29 \end{align*}$
Karena $\begin{align*} x_{1}^{2}+y_{1}^{2}>25 \end{align*}$ , maka titik $(-2,-5)$ terletak di luar bundar $x^{2}+y^{2}=25$
CONTOH SOAL 2
Tentukan kedudukan (posisi) titik $(-2,9)$ terhadap lingkaran$x^{2}+y^{2}+4x-8y-5=0$.
Jawab
Substitusi titik $(-2,9)$ ke dalam persamaan lingkaran.
$\begin{align*} &x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+4x-8y-5\\ &=(-2)^{2}+(9)^{2}+4(-2)-8(9)-5 \\ &=4+81-8-72-5\\ &=0 \end{align*}$
Karena$\begin{align*} x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+Ax_{1}+By_{1}+C=0 \end{align*}$,maka titik $(-2,9)$ terletak pada bundar $x^{2}+y^{2}+4x-8y-5=0$.
Jawab
Substitusi titik $(-2,9)$ ke dalam persamaan lingkaran.
$\begin{align*} &x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+4x-8y-5\\ &=(-2)^{2}+(9)^{2}+4(-2)-8(9)-5 \\ &=4+81-8-72-5\\ &=0 \end{align*}$
Karena$\begin{align*} x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+Ax_{1}+By_{1}+C=0 \end{align*}$,maka titik $(-2,9)$ terletak pada bundar $x^{2}+y^{2}+4x-8y-5=0$.
CONTOH SOAL 3
Tentukanlah nilai $m$ semoga titik $(-5,m)$ terletak pada lingkaran$x^{2}+y^{2}+2x-5y-21=0$.
Jawab
Misalkan $P(-5,m)$ maka $x_{1}=-5$ dan $y_{1}=m$. Agar titik $P$ terletak pada bundar tersebut maka syarat yang harus dipenuhi adalah:
Jawab
Misalkan $P(-5,m)$ maka $x_{1}=-5$ dan $y_{1}=m$. Agar titik $P$ terletak pada bundar tersebut maka syarat yang harus dipenuhi adalah:
$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+Ax_{1}+By_{1}+C=0$
Sehingga:
$\begin{align*}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+Ax_{1}+By_{1}+C&=0\\(-5)^{2}+(m)^{2}+2(-5)-5(m)-21&=0\\25+m^{2}-10-5m-21&=0\\m^{2}-5m-6&=0\\(m+1)(m-6)&=0\\m=-1\;\;atau\;\;m&=6\end{align*}$
Jadi, nilai $m=-1$ dan $m=6$.
CONTOH SOAL 4
Tentukanlah persamaan bundar yang pusatnya $(4,3)$ dan melalui titik $(2,-2)$.
Jawab
Misalkan persamaan bundar tersebut $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=0$
Substitusi titik $(4,3)$ dan $(2,-2)$ ke persamaan diperoleh:
$\begin{align*}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\(2-4)^{2}+(-2-3)^{2}&=r^{2}\\4+25&=r^{2}\\29&=r^{2}\end{align*}$
Persamaan bundar dengan sentra $(4,3)$ sanggup ditentukan.
$\begin{align*}(x-4)^{2}+(y-3)^{2}&=r^{2}\\x^{2}-8x+16+y^{2}-6y+9&=29\\x^{2}+y^{2}-8x-6y-4&=0\end{align*}$
Jadi,persamaan lingkarannya $x^{2}+y^{2}-8x-6y-4=0$.
Jawab
Misalkan persamaan bundar tersebut $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=0$
Substitusi titik $(4,3)$ dan $(2,-2)$ ke persamaan diperoleh:
$\begin{align*}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\(2-4)^{2}+(-2-3)^{2}&=r^{2}\\4+25&=r^{2}\\29&=r^{2}\end{align*}$
Persamaan bundar dengan sentra $(4,3)$ sanggup ditentukan.
$\begin{align*}(x-4)^{2}+(y-3)^{2}&=r^{2}\\x^{2}-8x+16+y^{2}-6y+9&=29\\x^{2}+y^{2}-8x-6y-4&=0\end{align*}$
Jadi,persamaan lingkarannya $x^{2}+y^{2}-8x-6y-4=0$.
CONTOH SOAL 5
Tentukanlah persamaan bundar yang melalui titik-titik $K(2,7)$, $L(-5,6)$ dan $M(3,0)$.
Jawab
Misalkan persamaan bundar yang diminta ialah $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$. Karena $K$, $L$, dan $M$ terletak (melalui) bundar maka koordinat ketiga titik tersebut haruslah memenuhi persamaan lingkaran. Substitusi ketiga titik tersebut ke persamaan pemisalan.
Titik $K(2,7)$
$\begin{align*}2^{2}+7^{2}+A(2)+B(7)+C&=0\\2A+7B+C&=-53\;\;\;\;\;...(1)\end{align*}$
Titik $L(-5,6)$
$\begin{align*}(-5)^{2}+6^{2}+A(-5)+B(6)+C &=0\\-5A+6B+C &=0\;\;\;....(2)\end{align*}$
Titik $L(3,0)$
$\begin{align*}3^{2}+0^{2}+A(2)+B(0)+C&=0\\3A+C&=0\;\;\;\;\;....(3)\end{align*}$
Dengan menuntaskan ketiga persamaan yang di atas,diperoleh nilai $A=2$, $B=-6$, dan $C=-15$. Jika nilai-nilai ini dimasukkan kembali ke persamaan semula akan diperoleh persamaan bundar yang dicari,yaiti: $x^{2}+y^{2}+2x-6y-15=0$.
Jawab
Misalkan persamaan bundar yang diminta ialah $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$. Karena $K$, $L$, dan $M$ terletak (melalui) bundar maka koordinat ketiga titik tersebut haruslah memenuhi persamaan lingkaran. Substitusi ketiga titik tersebut ke persamaan pemisalan.
Titik $K(2,7)$
$\begin{align*}2^{2}+7^{2}+A(2)+B(7)+C&=0\\2A+7B+C&=-53\;\;\;\;\;...(1)\end{align*}$
Titik $L(-5,6)$
$\begin{align*}(-5)^{2}+6^{2}+A(-5)+B(6)+C &=0\\-5A+6B+C &=0\;\;\;....(2)\end{align*}$
Titik $L(3,0)$
$\begin{align*}3^{2}+0^{2}+A(2)+B(0)+C&=0\\3A+C&=0\;\;\;\;\;....(3)\end{align*}$
Dengan menuntaskan ketiga persamaan yang di atas,diperoleh nilai $A=2$, $B=-6$, dan $C=-15$. Jika nilai-nilai ini dimasukkan kembali ke persamaan semula akan diperoleh persamaan bundar yang dicari,yaiti: $x^{2}+y^{2}+2x-6y-15=0$.
CONTOH SOAL 6
Tentukanlah persamaan bundar yang menyinggung sumbu$-X$,mempunyai sentra pada garis $x+y-7=0$,melalui titik $(5,4)$.
Jawab
Misalkan titik sentra bundar yang dicari ialah $(a,b)$ dan berjari-jari $r$ maka persamaan bundar tersebut berbentuk:
Karena titik sentra bundar $(a,b)$ terletak garis $x+y-7=0$ maka koordinat titik sentra bundar haruslah memenuhi persamaan garis,sehingga:
Dengan demikian ada dua kemungkinan persamaan bundar yang dimaksud.
Persamaan bundar I
Untuk $a=5$, $b=2$, dan $r=2$:
$\begin{align*}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\(x-5)^{2}+(y-2)^{2}&=2^{2}\\x^{2}-10x+25+y^{2}-4y+4&=4\\x^{2}+y^{2}-10x-4y+25&=0\end{align*}$
Persamaan bundar II
Untuk $a=-3$, $b=10$, dan $r=10$:
$\begin{align*}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=0\\(x+3)^{2}+(y-10)^{2}&=10^{2}\\x^{2}+6x+9+y^{2}-20y+100&=100\\x^{2}+y^{2}+6x-20y+9&=0\end{align*}$
Jadi, persamaan bundar yang dicari ialah $x^{2}+y^{2}-10x-4y+25=0$ dan $x^{2}+y^{2}+6x-20y+9=0$ dan terlihat menyerupai gambar berikut.
Jawab
Misalkan titik sentra bundar yang dicari ialah $(a,b)$ dan berjari-jari $r$ maka persamaan bundar tersebut berbentuk:
$\begin{align*}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\;\;\;\;....(1)\end{align*}$
Karena bundar menyinggung sumbu$-X$,maka: $\begin{align*}r=b\;\;\;\;\;.....(2)\end{align*}$
Karena titik sentra bundar $(a,b)$ terletak garis $x+y-7=0$ maka koordinat titik sentra bundar haruslah memenuhi persamaan garis,sehingga:
$\begin{align*}x+y-7&=0\\a+b&=7\;\;\;\;....(3)\end{align*}$
Karena titik $(5,4)$ melalui bundar maka diperoleh persamaan:
$\begin{align*}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\(5-a)^{2}+(4-b)^{2}&=b^{2}\\a^{2}-10a-8b+41&=0\;\;\;\;....(4)\end{align*}$
Persamaan $(3)$ ekuivalen dengan $b=7-a$, subatitusi ke persamaan $(4)$ diperoleh:
$\begin{align*}a^{2}-10a-8b+41&=0\\a^{2}-8a-8(7-a)+41&=0\\a^{2}-10a-56+8a+41&=0\\a^{2}-2a-15&=0\\(a-5)(a+3)&=0\\a=5\;\;\;\;atau\;\;\;a&=-3\end{align*}$
Untuk $a=5\rightarrow b=2\rightarrow r=2$
Untuk $a=-3\rightarrow b=10\rightarrow=10$
Dengan demikian ada dua kemungkinan persamaan bundar yang dimaksud.
Persamaan bundar I
Untuk $a=5$, $b=2$, dan $r=2$:
$\begin{align*}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\(x-5)^{2}+(y-2)^{2}&=2^{2}\\x^{2}-10x+25+y^{2}-4y+4&=4\\x^{2}+y^{2}-10x-4y+25&=0\end{align*}$
Persamaan bundar II
Untuk $a=-3$, $b=10$, dan $r=10$:
$\begin{align*}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=0\\(x+3)^{2}+(y-10)^{2}&=10^{2}\\x^{2}+6x+9+y^{2}-20y+100&=100\\x^{2}+y^{2}+6x-20y+9&=0\end{align*}$
Jadi, persamaan bundar yang dicari ialah $x^{2}+y^{2}-10x-4y+25=0$ dan $x^{2}+y^{2}+6x-20y+9=0$ dan terlihat menyerupai gambar berikut.
Demikianlah pembahasan bahan perihal Kedudukan Titik terhadap Lingkaran. Apabila ditemukan keselahan baik itu tanggapan maupun pengetikan silakan dikonetari pada kolom komentar di bawah.
Semoga bermanfaat. Salam Matematika...
Sumber http://yan-fardian.blogspot.com
0 Response to "Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran"
Posting Komentar