Persamaan Lingkaran

Dalam matematika, bulat didefenisikan sebagai himpunan semua titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan dengan pusat lingkaran, sedangkan jarak tersebut dinamakan dengan jari-jari lingkaran.

Lingkaran bukan lagi istilah aneh bagi belum dewasa sekolah alasannya yaitu pada setiap jenjang niscaya menemukan bahan terkait lingkaran. Dalam goresan pena ini, akan dibahas mengenai bulat secara analitik yang lebih dikhususkan bagi belum dewasa SMA.

1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat di Titik O(0,0)
Perhatikan gambar berikut!

Gambar di atas mengatakan sebuah bulat dengan titik sentra $O(0,0)$ berjari-jari $r$ dan titik $P(x,y)$ terletak pada lingkaran, serta $Q$ yaitu proyeksi titik $P$ pada sumbu $X$. Akibatnya $\triangle OPQ$ yaitu segitiga siku-siku dengan siku-siku di titik $Q$. Dengan memanfaatkan teorema pythagoras kita peroleh:

$\begin{align*} OQ^{2}+PQ^{2}&=r^{2}\\ (x-0)^{2}+(y-0)^{2}&=r^{2}\\ x^{2}+y^{2}&=r^{2} \end{align*}$

Dengan demikian, sanggup disimpulkan:

Persamaan bulat dengan titik sentra $O(0,0)$ dan berjari-jari $r$ adalah:
$x^{2}+y^{2}=r^{2}$

Titik $P$ merupakan sembarang titik yang terletak pada lingkaran,maka persamaan berlaku untuk semu titik.

Sekarang, kita perhatikan referensi soal berikut.

Soal 1
Tentukkan persamaan bulat yang berpusat di titik $O(0,0)$ dan berjari-jari $5$ satuan.
Jawab

$\begin{align*} x^{2}+y^{2}&=r^{2}\\ x^{2}+y^{2}&=5^{2}\\ x^{2}+y^{2}&=25\\ \end{align*}$

Jadi, persamaan bulat dengan titik sentra $O(0,0)$ dengan jari-jari $5$ satuan yaitu $x^{2}+y^{2}=25$

Soal 2
Tentukkan persamaan bulat yang berpusat di titik $O(0,0)$ dan berjari-jari $\sqrt{3}$ satuan.
Jawab

$\begin{align*} x^{2}+y^{2}&=r^{2}\\ x^{2}+y^{2}&=(\sqrt{3})^{2}\\ x^{2}+y^{2}&=3\\ \end{align*}$

Jadi, persamaan bulat dengan titik sentra $O(0,0)$ dengan jari-jari $\sqrt{3}$ satuan yaitu $x^{2}+y^{2}=3$

mmmm

Soal 3
Tentukan jari-jari dan diameter bulat $4x^{2}+4y^{2}=1$.
Jawab

$\begin{align*} 4x^{2}+4y^{2}&=1\\ x^{2}+y^{2}&=\frac{1}{4}\\ r^{2}&=\frac{1}{4}\\ r^{2}&=\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}\\ r&=\frac{1}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} \textrm{Jadi}:\;r&=\frac{1}{2}\;\textrm{satuan}\\ D&=1\;\textrm{satuan} \end{align*}$

2. Persamaan Lingkaran dengan Titik Pusat di $P(a,b)$ dan berjari-jari $r$.

 Perhatikan gambar berikut!

Gambar di atas mengatakan sebuah bulat dengan titik sentra $A(a,b)$, dan titik $P(x,y)$ terletak pada lingkaran. Titik $Q$ merupakan proyeksi titik $P$ pada garis $y=b$, alhasil terbentuk segitiga siku-siku $AQP$ dengan siku-siku di $Q$. Perhatikan $\triangle AQP$, dimana $AQ=(x-a)$, $PQ=(y-b)$, dan $AP=r$, sehingga dengan memanfaatkan teorema pythagoras pada segitiga tersebut diperoleh:

$\begin{align*} AQ^{2}+PQ^{2}&=AP^{2}\\ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2} \end{align*}$ 

Oleh alasannya yaitu $P$ sembarang titik pada bulat maka persamaan tersebut berlaku untuk setiap titik yang terletak pada lingkaran. Dari uraian tersebut, sanggup dibentuk kesimpulan sebagai berikut.

Persamaan bulat dengan titik sentra $A(a,b)$ dan berjari-jari $r$ adalah:

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

Perhatikan referensi soal berikut.

Soal 1
Tentukkan persamaan bulat yang berpusat di titik $(2,3)$ dan berjari-jari $5$ satuan.
Jawab

Misalkan titik sentra $A(2,3)$ dan $r=5$

$\begin{align*} (x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\ (x-2)^{2}+(y-3)^{2}&=5^{2}\\ (x^{2}-4x+4)+(y^{2}-6y+9)&=25\\x^{2}+y^{2}-4x-6y-16&=0\end{align*}$

Jadi, persamaan bulat dengan titik sentra $(2,3)$ dengan jari-jari $5$ satuan yaitu $x^{2}+y^{2}-4x-6y-16=0$

Demikianlah uraian bahan pada kesempatan kali ini. Apabila dalam uraian bahan ini ditemukan kesalahan dalam pembahasannya,segera dikomentari di kolom komentar di bawah ini. Semoga bermanfaat.

Salam Matematika....

Sumber http://yan-fardian.blogspot.com

Share this post

Berlangganan update artikel terbaru via email: